Całka podwójna w obszarze normalnym, Polibuda
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
CAŁKA PODWÓJNA W OBSZARZE NORMALNYM
Definicja
(
obszaru normalnego
)
Obszar domknięty
__
D
określony nierównościami:
x
y
x
,
a
x
b
,
gdzie
,
C
,
a
,
b
nazywamy
obszarem normalnym
względem osi
OX
.
y
d
P
y=ψ(x)
D
y=φ(x)
c
a
x
b
x
Aby zdefinować całkę funkcji
f
ciągłej w obszarze normalnym
__
D
rozważmy prostokąt
P,
P=
[
a,b
][
c,d
], gdzie
c
:
x
inf
,
b
x
,
d
:
sup
,
x
a
b
i zdefiniujmy nową funkcję:
f
*
x
,
y
:
f
x
,
y
,
gdy
x
,
y
D
,
0
gdy
x
,
y
P
\
D
.
Ponieważ
f
C
__
D
zatem
f
* jest ciągła, ewentualnie poza zbiorem punktów położonych na
krzywych
y=ψ(x)
i
y=φ(x),
tzn. poza zbiorem miary zero. Zatem
f
* jest całkowalna w
prostkącie
P.
Definiujemy
f
x
,
y
dxdy
:
f
*
.
x
,
y
dxdy
D
P
Stosując wzór o zamianie całki podwójnej po prostokącie na całkę iterowaną
otrzymujemy:
b
d
b
f
*
x
,
y
dxdy
dx
f
*
x
,
y
dy
dx
f
x
,
y
dy
.
P
a
c
a
x
Stąd
b
x
f
x
,
y
dxdy
dx
f
x
,
y
dy
.
D
a
x
Uwaga
Brzeg obszaru
D
jest zbiorem miary zero, więc nie ma znaczenia czy go włączymy do obszaru
całkowania czy nie.
1
x
a
,
x
Definicja
Obszar dokmnięty
D
określony nierównościami
y
x
,
c
y
d
,
gdzie
,
C
,
c
,
d
nazywamy
obszarem normalnym
względem osi
OY.
y
d
x=α(y)
D
x=β(y)
c
x
Analogicznie określamy całkę funkcji ciągłej w obszarze
D
normalnym względem
OY
i
wtedy
d
y
f
x
,
y
dxdy
dy
f
x
,
y
dx
.
D
c
y
Definicja
Ob
s
zar
do
km
nięty
D
nazywamy obszarem
regularnym
, jeśli jest sumą
obszarów normalnych względem osi
OX
lub względem osi
OY
, które
nie mają wspólnych punktów wewnętrznych.
D
1
D
2
...
D
n
Defini
cja
Niech
D
- obs
za
r regularny,
f
C
D
.
Wtedy
n
f
x
,
y
dxdy
f
x
,
y
dxdy
i
D
1
D
i
Uwaga
Prawdziwe są wszystkie własności całki podwójnej, gdy prostokąt
P
zastąpimy obszarem
regularnym
D,
tzn.
–
liniowość
–
addywność względem obszaru całkowania
–
ograniczoność całki
2
y
D
:
Przykład
Obliczyć całkę podwójną
I
dxdy
,
gdzie
D
– obszar ograniczony krzywymi
x
2
y
2
D
i
x
y
2
1
Wyznaczamy punkty (
x
,
y
) przecięcia parabol
x
2
y
2
i
x
y
2
1
:
y
1
x
2
i zaznaczamy obszar
D
D
jest obszarem normalnym względem
OY,
D
:
1
y
1
2
y
2
x
y
2
1
Zatem możemy całkę podwójną zamienić na całkę iterowaną:
2
y
2
1
1
1
y
1
1
1
2
4
I
dy
dx
x
dy
1
y
2
dy
y
y
3
2
3
3
3
1
2
y
2
1
2
y
2
1
1
Uwaga
Powyższy obszar
D
nie jest normalny względem
OX
, ale można go podzielić na na trzy
obszary normalne względem
OX
i wtedy
dxdy
dxdy
dxdy
dxdy
D
D
D
D
1
2
3
x
x
1
2
2
2
2
x
1
1
2
2
dx
dy
dx
dy
dx
dy
2
x
dx
2
x
dx
2
x
1
dx
0
x
1
x
1
1
x
0
1
1
2
2
3
1
3
2
3
2
2
2
2
2
2
8
2
2
4
4
2
x
2
2
x
2
2
(
x
1
2
3
3
3
3
3
3
3
3
0
1
1
3
1
Twierdze
n
i
e
(
o zamianie zmiennych w całce podwójnej
)
Z: Niech
D
- obszar
y r
egularne w
R
2
,
,
:
D
,
u
,
v
u
,
v
,
u
,
v
dla
(
u
,
v
)
.
T: Jeśli 1
O
odwzorowanie
przekształca wzajemnie jednoznacznie (różnowartościowo)
wnętrze obszaru
Δ
na wnętrze obszaru
D,
:
int
bijekcja
int
D
2
O
,
C
1
,
gdzie
jest
obszarem,
f
4
O
jakobian
C
D
J
odwzorowania
jest niezerowy w obszarze
Δ
,
J
det
u
v
0
u
v
to
f
x
,
y
dxdy
f
u
,
v
,
u
,
v
J
T
dudv
.
D
v
y
f
(o wartościach w
R
)
D
Δ
dziedzina odwzorowania
f
u
x
określa podstawienie w całce
4
suriekcja
3
O
Uwaga
Odwzorowanie
brzegu obszaru
Δ
na brzeg obszaru
D
nie musi być wzajemnie
jednoznaczne.
Np. odwzorowanie wprowadzające zmienne biegunowe
x
r
cos
,
gdzie
r
0
2
y
r
sin
nie jest bijektywne, bo jeżeli
r=
0, to
x=y=
0; i cały odcinek
I
={(0,
φ
), gdzie
}
przechodzi w punkt (0,0).
Wyznaczmy jakobian odwzorowania wprowadzającego współrzędne biegunowe,
x
x
r
cos
r
sin
J
det
det
r
y
y
sin
r
cos
r
Uwaga
Zmiana kolejności zmiennych daje zmianę kolejności kolumn macierzy Jacobiego, a wtedy
jakobian zmienia się na przeciwny,
x
x
J
det
r
r
y
y
r
Jednak w twierdzeniu o zamianie zmiennych w całce podwójnej występuje moduł jakobianu
zatem zmiana kolejności zmiennych nie ma znaczenia.
5
0
2
0
[ Pobierz całość w formacie PDF ]