Calka krzywoliniowa skalarna

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Całka krzywoliniowa funkcji skalarnej na płaszczyźnie.Niech będą dane na płaszczyźnieOxyłuk gładki (l) o początkuAi końcuBoraz funkcjaf,która każdemu punktowiP=(x, y)krzywej(I) przyporządkowujeliczbęf (P)=f (x, y).Funkcję tę nazywamyfunkcją skalarną,abyodróżnić ją od funkcji wektorowej. Zakładamy, że funkcjafjest ograniczona na(I).Całka krzywoliniowa funkcji f po krzywej(I),jestoznaczana symbolamil-drogacałkowania.-funkcja podcałkowa,dl-różniczka łuku.Łuk (I) =ABdzielimy za pomocą punktów podziałuA = Ao, A1,..., An-1,An=BTworzymy cięciwyodpowiadającetym łukom a długości tych cięciw oznaczamyŚrednicą podziałunazywamy długość najdłuższego z łuków częściowych w danym podziale.Na każdym z łuków częściowych obieramy pojednym punkciei tworzymySumę tę nazywamysumą całkową funkcji f na drodze(I).Normalny ciąg podziałówjest to ciąg podziałów, których średnice tworzą ciąg zbieżny do 0(a liczby łuków częściowych ciąg rozbieżny do ).Granica sumy całkowej.Jeśli każdemu normalnemu ciągowi podziałów, przy dowolnymwyborze argumentów, odpowiada ciąg sum całkowych zbieżny do pewnej granicy, to tęgranicę nazywamycałką krzywoliniową funkcji f po krzywej (l),co zapisujemySens geometryczny.Jeślif (P)= 1 wszędzie na (l), to całkajest długością łuku(l)Sensfizyczny.Jeśli (l) oznacza krzywą materialną, af(P)gęstość w dowolnym punkciePtejkrzywej, to całkajest masą tej krzywej.Obliczenie całki krzywoliniowej funkcji skalarnej na płaszczyźnieJeśli łuk gładki (I) jest dany na płaszczyźnie Oxy jawniey=y(x),a funkcja f jest ciągła na (I),tocałka krzywoliniowa funkcji f po krzywej(I)istnieje izachodzirówność [ Pobierz całość w formacie PDF ]