calkrozn 10s

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wprowadzenie Kwadratury–w¦złyrównoodległe KwadraturyGaussa Wzorysumacyjne Ró»niczkowanienumeryczne
CAŁKOWANIEIRÓNICZKOWANIENUMERYCZNE
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE
Budownictwo,studiaIstopnia,semestrIII
rokakademicki2010/2011
InstytutL-5,WydziałIn»ynieriiL¡dowej,PolitechnikaKrakowska
EwaPabisek
AdamWosatko
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE CAŁKOWANIEIRÓNICZKOWANIENUMERYCZNE
Wprowadzenie
Kwadratury–w¦złyrównoodległe KwadraturyGaussa Wzorysumacyjne Ró»niczkowanienumeryczne
Kiedystosujemycałkowanienumeryczne?
Wprzypadkachelementarnychobliczaniewarto±cicałkioznaczonej
odbywasi¦napodstawiewzoruNewtona-Leibnitza
b
Z
I
(
f
)=
f
(
x
)
dx
=
F
(
b
)
−
F
(
a
)
a
Powy»szywzórmo»emystosowa¢wtedy,gdyznanajesttzw.
funkcjapierwotna
F
(
x
)
spełniaj¡cazwi¡zek:
d
F
(
x
)
d
x
=
f
(
x
)
Je±li
wyznaczeniefunkcjipierwotnejjestbardzotrudnelubniemo»liwe
i/lub
funkcjapodcałkowa
f
(
x
)
zadanajestwpostacitablicy
,tomo»liwe
jeststosowaniecałkowanianumerycznego.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE CAŁKOWANIEIRÓNICZKOWANIENUMERYCZNE
Wprowadzenie
Kwadratury–w¦złyrównoodległe KwadraturyGaussa Wzorysumacyjne Ró»niczkowanienumeryczne
Naczympoleganumerycznecałkowanie?
Gdyprzedziałcałkowaniajestsko«czony,wówczasnumeryczne
całkowaniepolegana
zast¡pieniufunkcjipodcałkowej
f
(
x
)
odpowiednimwielomianeminterpolacyjnymlubaproksymacyjnym
'
(
x
)
zbudowanymnazbiorze
n
+
1w¦złówowspółrz¦dnych
x
i
,
i
=
0
,
1
,
2
,...,
n
.
Wymagatowówczascałkowaniajedynieprostychfunkcjibazowych
zwykorzystaniemwzoruna
I
(
f
)
.
Wdalszymci¡guomówionezostan¡najprostszemetodycałkowania
numerycznegowykorzystuj¡ceinterpolacj¦(aproksymacj¦)funkcji
zapomoc¡
wielomianówalgebraicznych
.
Podstawiaj¡cwmiejscefunkcjipodcałkowej
f
(
x
)
wielomianalgebraiczny
'
(
x
)=
f
0
N
0
(
x
)+
f
1
N
1
(
x
)+
···
+
f
n
N
n
(
x
)
otrzymamytzw.
wzórkwadraturowy
.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE CAŁKOWANIEIRÓNICZKOWANIENUMERYCZNE
Wprowadzenie
Kwadratury–w¦złyrównoodległe KwadraturyGaussa Wzorysumacyjne Ró»niczkowanienumeryczne
Kwadraturacałkowania
Wzoremkwadraturowymalbokrócej
kwadratur¡
nazywamy:
b
Z
b
Z
b
Z
n
X
n
X
I
(
f
)=
f
(
x
)
dx
'
(
x
)
dx
=
f
(
x
i
)
N
i
(
x
)
dx
=
w
i
f
(
x
i
)=
S
(
f
)
i
=
0
i
=
0
a
a
a
wktórym
b
Z
w
i
=
N
i
(
x
)
dx
,
i
=
0
,
1
,
2
,...,
n
a
s¡tzw.
współczynnikamiwagowymi
(wagami).Warto±¢
w
i
okre±la
wielko±¢udziałurz¦dnej
f
i
f
(
x
i
)
wwarto±cicałejsumy
S
(
f
)
.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE CAŁKOWANIEIRÓNICZKOWANIENUMERYCZNE
Wprowadzenie
Kwadratury–w¦złyrównoodległe KwadraturyGaussa Wzorysumacyjne Ró»niczkowanienumeryczne
Rz¡dkwadratury
Jakokryteriumdokładno±cikwadraturymo»naprzyj¡¢zgodno±¢
I
(
W
)
z
S
(
W
)
gdy
W
jestwielomianem.
Najcz¦±ciejstosowan¡miar¡dokładno±cijesttzw.
rz¡dkwadratury
.
Kwadratura
S
(
f
)
jestrz¦du
r
(
r
­
1
)
,je±li
I
(
W
)=
S
(
W
)
dlawszystkichwielomianów
W
(
x
)
stopniamniejszegoni»
r
orazje±liistniejetakiwielomian
W
(
x
)
stopnia
r
dlaktórego
I
(
W
)
6
=
S
(
W
)
.
Mo»nawykaz¢,»ekwadraturyinterpolacyjnezbudowanena
n
+
1
w¦złachs¡conajmniej
n
+
1rz¦du.
MATEMATYKASTOSOWANAIMETODYNUMERYCZNE CAŁKOWANIEIRÓNICZKOWANIENUMERYCZNE
[ Pobierz całość w formacie PDF ]