Całki krzywoliniowe

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Lista nr 3
EiT, sem.III, studia dzienne, 2006/07.
Calki krzywoliniowe skierowane i nieskierowane.
1. Obliczyc:
Z
a)
2xydx−x
2
dy, jezeliABjest: 1
odcinkiem, 2
lukiem paraboliy=x
2
laczacym punktA(0,0) z punktemB(1,1),
Z
AB
xdy, jezeliABjest lukiem elipsy o przedstawieniu parametrycznymx=acost,y=bsint,t2h0;/2i, niezgodnym
z kierunkiem tego luku,
AB
Z
c)
(2a−y)dx+xdy, jezeliABjest lukiem cykloidy o przedstawieniu parametrycznymx=a(t−sint),
AB
y=a(1−cost),t2h0; 2i, niezgodnym z kierunkiem tego luku,
I
d)
x
2
dx+y
2
dy, jezeliKjest okregiem o rownaniux
2
+y
2
= 1, skierowanym dodatnio wzgledem swego wnetrza,
I
K
xdx+ydy, jezeliKjest brzegiem kwadratu o wierzcholkachA(0,0),B(0,1),C(1,1) iD(1,0), skierowanym dodatnio
wzgledem swego wnetrza,
K
Z
xdx+ydy
p
1 +x
2
+y
2
, gdzieKjest czwarta czescia elipsy lezaca w pierwszej cwiartce, w kierunku zgodnym z ruchem
wskazowek zegara,
f)
K
I
dx+dy
|x|+|y|
, gdzieKjest krzywa|x|+|y|= 1 skierowana dodatnio wzgledem wnetrza,
g)
K
−3
!
p
Z
y
+
dy
6
,
2−
3
h)
y−1
, gdzieABjest skierowanym lukiem cykloidyx=t−sint,y= 1−cost, od punktuA
2
AB
2−3
!
p
6
,
1
3
doB
,
2
Z
y
2
dx−x
2
dy
x
5
/
3
+y
5
/
3
, gdzieABjest skierowanym lukiem asteroidyx=acos
3
t,y=asin
3
tod punktuA(0,a) doB(a,0).
i)
AB
2. Obliczyc:
Z
a)
(y−z)dx+ (z−x)dy+ (x−y)dzpo lukuABlinii srubowej o przedstawieniu parametrycznym
AB
x= cost,y= sint,z=t,t2h0; 2i, niezgodnym z kierunkiem tego luku,
Z
xdx+ydy+zdzpo okreguKo przedstawieniu parametrycznymx= 2 cost,y= 2 sint,z= 3,t2h0; 2i, zgodnym
z jego kierunkiem,
K
Z
2x+z
z
dx+
2y+z
z
dy+
z
2
−x
2
−y
2
c)
z
2
dz, gdzieABjest odcinkiem prostej skierowanym od punktuA(1,2,1) do
AB
punktuB(3,1,3).
Z
dl
p
x
2
+y
2
+ 4
3. Obliczyc calke
, gdzieLjest odcinkiem laczacym punktyA(0,0) iB(1,2).
L
Z
4. Obliczyc calke
xydl, jezeliLjest brzegiem kwadratu|x|+|y|= 1.
L
5. Obliczyc dlugosc luku krzywejx= 2−
t
4
4
,y=
t
6
6
miedzy jej punktami przeciecia z osiami ukladu.
b)
e)
xdx
b)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]