Calkowanie numeryczne, Matematyka, Metody numeryczne, Wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Uwaga.
Je
eli wprowadzimy oznaczenie
y
i
=
f
(
x
0
+
ih
)
, dla
i
=
1
2
...,
n
, to
Ã
k
Ä
k
Ô
D
k
y
=
(
-
1
j
×
Å
Æ
Õ
Ö
×
y
.
i
j
i
+
k
-
j
j
=
0
Wzory interpolacyjne Newtona – pierwszy wzór interpolacyjny.
Załó
my,
e
$
h
>
0
"
n
Î
N
x
i
-
x
i
-
1
=
h
.
Wówczas
"
i
Î
N
x
i
=
x
0
+
i
×
h
.
Przyjmijmy oznaczenie
q
=
x
-
x
0
.
We
my pod uwag
nast
puj
cy układ funkcji bazowych
h
F
0
(
x
)
=
1
F
1
(
x
)
=
q
,
F
2
(
x
)
=
q
(
q
-
1
),
...,
F
n
(
x
)
=
q
(
q
-
1
)(
q
-
2
)....(
q
-
n
+
1
).
Wówczas wielomian interpolacyjny w mo
na zapisa
w postaci:
=
n
"
x
Î
R
w
(
x
)
=
b
i
×
F
i
(
x
)
=
b
0
+
b
1
q
+
b
2
q
(
q
-
1
+
...
+
b
n
q
(
q
-
1
...
(
q
-
n
+
1
).
i
0
Poniewa
dla
x
=
x
q
=
x
0
-
x
0
=
0
0
h
x
=
x
q
=
x
1
-
x
0
=
h
=
1
h
h
x
=
x
q
=
x
2
-
x
0
=
2
h
=
2
2
h
h
……………………………….
x
=
x
q
=
x
n
-
x
0
=
nh
=
n
,
n
h
h
wi
c współczynniki wielomianu interpolacyjnego w mo
na wyznaczy
rozwi
zuj
c układ równa
:
Ê
w
(
x
0
)
=
b
0
=
y
0
Í
w
(
x
)
=
b
+
b
=
y
Í
1
0
1
1
Ë
w
(
x
)
=
b
+
2
b
+
2
b
=
y
2
0
1
2
2
Í
Í
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
..........
...
Í
w
(
x
)
=
b
+
na
+
n
(
n
-
1
b
+
n
(
n
-
1
)(
n
-
2
b
+
....
+
n
!
b
=
y
Ì
n
0
1
2
3
n
n
Z układu tego wynika,
e
b
=
y
,
b
=
y
-
b
=
y
-
y
=
D
y
,
b
=
1
(
y
-
2
b
-
b
)
=
1
[(
y
-
b
-
b
)
-
b
]
=
1
[
D
y
-
D
y
]
=
0
0
1
1
0
1
0
0
2
2
2
1
0
2
2
1
0
1
2
1
0
=
D
2
y
0
,
itd.
2
!
D
i
y
Zatem
"
i
Î
P
(
n
)
b
=
0
.
St
d wynika,
e pierwszy wzór interpolacyjny Newtona ma posta
:
n
n
!
y
D
y
D
2
y
D
n
y
w
(
x
)
=
0
+
0
q
+
0
q
(
q
-
1
+
...
+
0
q
(
q
-
1
...
(
q
-
n
+
1
).
0
!
1
2
!
n
!
Algorytm obliczania
warto
ci funkcji za pomoc
wielomianu interpolacyjnego Newtona
Dane: n - całkowite, h, x
0
, q – rzeczywiste, y[n] – wektor
Podaj warto
ci n, x
0
, h, x
od i = 0 do n podaj warto
ci
y
i
0
od i = 1 do n
od j = 0 do n-i wykonuj
y
ji
=
y
j
+
1
i
-
1
-
y
j
,
i
-
1
tablica ró
nic sko
czonych
q
=
x
-
x
0
h
od i = 0 do n wykonuj
b
i
=
y
0
i
od j = 0 do n wykonuj
b
=
b
i
(
q
-
j
)
i
j
+
1
w = 0
od i = 0 do n wykonuj
w
=
w
+
b
Drukuj w.
Numeryczne całkowanie funkcji.
b
Numeryczne obliczanie warto
ci całki
Ð
f
)
(
dx
polega na poszukiwaniu jej warto
ci w postaci
a
kombinacji liniowej warto
ci funkcji podcałkowej
f
(x) i jej pochodnych do pewnego ustalonego rz
du
wł
cznie w ustalonych punktach w
złowych.
Niech
n
Î
,
N
,
f
:
[
a
,
b
]
Ì
R
®
R
b
dzie funkcj
klasy
C
m
([
b
a
,
])
, za
"
i
Î
P
(
m
)
"
k
Î
P
(
n
)
x
ik
Î
[
b
a
]
ustalonymi punktami. Szukamy takich liczb
i
A
dla i =1,2,…,m;
b
n
m
à Ã
=
k =0,1,…,n, aby
Ð
f
(
x
)
dx
»
Q
(
f
)
=
A
×
f
(
i
-
1
(
x
)
ik
ik
k
0 1
=
a
Def.
Powy
sze przedstawienie warto
ci całki nazywamy kwadratur
liniow
, liczby
i
A
nazywamy
współczynnikami kwadratury za
punkty
i
x
nazywamy w
złami kwadratury.
Rozwa
amy zadanie polegaj
ce na takim doborze warto
ci współczynników i w
złów, aby
kwadratura była dokładna w przypadku, gdy funkcj
f
jest wielomian okre
lonego stopnia.
x
0
,
x
1
,
...
Rozwa
ymy obecnie przypadek, gdy znane s
jedynie warto
ci funkcji
f
w w
złach
.
,
x
n
Załó
my,
e w
zły s
uporz
dkowane rosn
co i s
parami ró
ne, tzn.
x
0
<
x
1
<
...
<
x
n
.
=
n
Rozwa
ana kwadratura ma zatem posta
:
Q
(
f
)
=
A
k
×
f
(
x
k
).
k
0
Def.
Mówimy,
e kwadratura Q jest rz
du
r
Î , je
li dla dowolnego wielomianu
w
stopnia
N
b
b
mniejszego od
r
:
Q
(
w
)
=
Ð
w
(
x
)
dx
oraz istnieje wielomian
w
stopnia
r
taki,
e
Q
(
w
)
¹
Ð
w
(
x
)
dx
.
a
a
Kwadratury Newtona – Cotesa.
b
Def
. Kwadraturami Newtona – Cotesa przybli
aj
cymi warto
całki
Ð
f
)
(
dx
nazywamy kwadratury
a
otrzymane poprzez zast
pienie funkcji podcałkowej jej wielomianem interpolacyjnym Lagrange’a
opartym na równoodległych w
złach
"
i
Î
P
(
n
)
x
=
a
+
i
×
h
,
h
=
b
-
a
.
i
n
b
W tym przypadku
Q
(
f
)
=
Ð
L
n
(
x
)
dx
.
a
Przypomnijmy,
e po wprowadzeniu oznaczenia
x
=
a
+
t
×
h
wielomian L
n
mo
na zapisa
w postaci:
L
(
a
+
th
)
=
Ã
n
f
(
x
)
×
Õ
t
-
j
,
gdzie
"
i
Î
P
(
n
)
x
=
a
+
i
×
h
,
h
=
b
-
a
.
n
i
=
-
i
j
i
n
i
=
0
j
0
i
i
Zatem w tym przypadku
Ð
Ã
n
Õ
n
x
-
x
Ã
Ð
Õ
n
b
n
t
-
j
Ã
Ð
Õ
n
n
n
t
-
j
Ã
n
Q
(
f
)
=
f
(
x
)
×
j
dx
=
f
(
x
)
×
d
(
a
+
th
)
=
f
(
x
)
×
×
h
×
dt
=
A
×
f
(
x
)
i
x
-
x
i
i
-
j
i
i
-
j
i
i
i
=
0
j
=
0
i
=
0
j
=
0
i
=
0
j
=
0
i
=
0
a
i
j
a
0
i
i
i
Ð
Õ
n
t
-
j
gdzie (*)
A
=
h
×
dt
.
i
=
-
i
j
j
0
0
i
Lemat
.
"
i
Î
P
(
n
)
A
i
=
A
n
-
i
.
Przykłady najprostszych kwadratur Newtona – Cotesa.
b
1.
Dla
n
=
0
Ð
f
(
x
)
dx
»
Q
(
f
)
=
h
×
f
(
a
)
. Ten sposób obliczania całki nosi nazw
metody
a
prostok
tów.
Twierdzenie.
Je
eli f jest funkcj
klasy
C
1
([
a
,
b
])
, to bł
d metody prostok
tów wynosi
(
b
-
a
)
2
R
(
f
)
=
×
f
¢
(
x
)
,
gdzie
x
Î
(
a
,
b
).
2
Wzór ten mo
emy zastosowa
w ka
dym z przedziałów
[
x
i
,
x
i
+
]
dla
i
= 0,1,…,
n
-1.
1
Ã
n
-
Otrzymamy wówczas,
e
Q
(
f
)
=
f
(
x
)
×
h
.
i
i
=
2.
Dla
n
= 1 w
złami kwadratury s
kra
ce przedziału całkowania. Ze wzoru (*) obliczamy
1
t
-
1
t
2
b
-
a
współczynniki kwadratury
A
=
(
b
-
a
)
×
Ð
dt
=
(
b
-
a
)
×
[
-
+
t
]
1
0
=
,
0
0
-
1
2
2
0
1
t
-
0
t
2
b
-
a
A
=
(
b
-
a
)
×
Ð
dt
=
(
b
-
a
)
×
[
]
1
0
=
.
Kwadratura N – C dla
n
= 1 ma wi
c posta
:
1
1
-
0
2
2
0
=
1
b
-
a
Q
(
f
)
=
A
×
f
(
x
)
=
×
(
f
(
a
)
+
f
(
b
)).
Ten sposób obliczania całki nosi nazw
metody
i
i
2
i
0
trapezów.
Twierdzenie.
Je
eli
f
Î
C
2
([
a
,
b
]),
to bł
d metody trapezów wyra
a si
wzorem
(
b
-
a
)
3
R
(
f
)
=
×
f
¢
(
x
)
,
gdzie
x
Î
(
a
,
b
).
12
Wzór ten mo
emy zastosowa
w ka
dym z przedziałów
[
x
i
,
x
i
+
]
dla
i
= 0,1,…,
n
-1.
=
n
-
1
x
-
x
(
)
Ä
y
+
y
Ô
Otrzymamy wówczas,
e
Q
(
f
)
=
i
+
1
i
×
f
(
x
)
+
f
(
x
)
=
h
×
Å
Æ
0
n
+
y
+
...
+
y
Õ
Ö
.
2
i
-
1
i
2
1
n
-
1
i
0
3.
Dla
n
= 2 w
złami kwadratury s
x
=
a
,
x
=
a
+
b
,
x
=
b
.
Ze wzoru (*) wynika,
e
0
1
2
2
współczynniki kwadratury w tym przypadku s
równe odpowiednio
b
-
a
2
(
t
-
1
)(
t
-
2
b
-
a
Ç
t
3
3
t
2
×
2
b
-
a
Ç
8
12
×
b
-
a
A
=
×
Ð
dt
=
×
É
-
+
2
t
Ù
=
×
É
-
+
4
Ù
=
,
0
2
(
0
-
1
)(
0
-
2
4
3
2
4
3
2
6
0
0
b
-
a
2
(
t
-
0
)(
t
-
2
)
4
(
b
-
a
)
A
=
×
Ð
dt
=
,
A
=
A
.
1
2
(
-
0
)(
1
-
2
)
6
2
0
0
Otrzymana w tym przypadku kwadratura ma posta
Q
(
f
)
=
b
-
a
Ç
f
(
a
)
+
4
f
(
a
+
b
)
+
f
(
b
)
×
=
b
-
a
×
(
y
+
4
y
+
y
)
i nazywana jest wzorem
É
Ù
6
2
6
0
1
2
parabol lub wzorem Simpsona.
b
n
Twierdzenie.
Rz
d metody Simpsona wynosi 4. Ponadto, je
eli
f
Î
C
4
([
a
,
b
]),
to bł
d metody
1
Ä
b
-
a
Ô
5
Simpsona wyra
a si
wzorem
R
(
f
)
=
Æ
Ö
×
f
(
4
)
(
x
)
,
gdzie
x
Î
(
a
,
b
).
90
2
Wzór ten mo
emy zastosowa
w ka
dym z przedziałów
[
x
i
,
x
i
+
2
]
dla
i
= 0,1,…,2
k
.
(oczywi
cie, gdy
n
= 2
k
). Otrzymamy wówczas,
e
(
Q
(
f
)
=
b
-
a
×
y
+
4
y
+
2
y
+
4
y
+
...
+
2
y
+
4
y
+
y
)
.
( bo,
b
-
2
a
=
h
)
3
0
1
2
3
n
-
2
n
-
1
n
n
Bł
dy poszczególnych metod dla w
złów
x
0
,
x
1
,
...
,
x
n
wyra
aj
si
wzorami:
(
b
-
a
)
2
− dla metody prostok
tów
R
(
f
)
=
×
f
¢
(
x
)
,
gdzie
x
Î
(
a
,
b
).
2
n
(
b
-
a
)
3
− dla metody trapezów
R
(
f
)
=
×
f
¢
(
x
)
,
gdzie
x
Î
(
a
,
b
).
12
n
2
1
Ä
b
-
a
Ô
5
− dla metody Simpsona
R
(
f
)
=
Æ
Ö
×
f
(
4
)
(
x
)
,
gdzie
x
Î
(
a
,
b
).
180
n
4
2
Twierdzenie.
Kwadratury Newtona – Cotesa oparte na
n
+1 w
złach s
rz
du
n
+2 dla
n
– parzystych,
za
rz
du
n
+1 dla
n
– nieparzystych.
Algorytmy
dla poszczególnych metod:
Metoda prostok
tów
Metoda trapezów
Metoda Simpsona
h
=
b
-
a
, =
c
0
h
=
b
-
a
,
c
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)
h
=
b
-
a
,
c
=
f
(
a
)
+
f
(
b
),
p
=
1
n
n
2
n
Dla i = 0, 1, … , n-1 wykonuj
x=a+ih
c=c+f(x)
Q(f)=hc
Dla i = 1, 2, … , n-1 wykonuj
x=a+ih
c=c+f(x)
Q(f)=hc
Dla i = 1, 2, … , n-1 wykonuj
x=a+ih
je
eli p = 1 to p:=0, c:=c+4f(x)
else
p:=1, c:=c+2f(x)
hc
Q(f)=
3
Numeryczne ró
niczkowanie funkcji
Niech f:[a,b]®R b
dzie funkcj
ró
niczkowaln
na przedziale (a,b),
x
0
,
x
1
,
...
,
x
n
Î
[
a
,
b
],
gdzie
x
0
<
x
1
<
...
<
x
n
,
za
y
0
=
f
(
x
0
),
y
1
=
f
(
x
1
),
...,
y
n
=
f
(
x
n
)
b
d
znanymi warto
ciami funkcji f.
x
Î Rozwi
zanie tego problemu
polega na interpolacji funkcji
f
na przedziale [
a
,
b
] wielomianem interpolacyjnym
w
, a nast
pnie
przyj
ciu,
e warto
i
– tej pochodnej funkcji
f
w punkcie
x
równa jest w przybli
eniu warto
ci
i
– tej
[
x
0
,
x
n
].
d
i
f
d
i
w
pochodnej wielomianu w tym punkcie
(
x
)
»
(
x
)
dla
x
Î
[
x
,
x
].
dx
i
dx
i
0
n
Ró
niczkowanie funkcji w oparciu o wielomian interpolacyjny Newtona
Załó
my,
e w
zły
x
0
,
x
1
,
...
,
x
n
s
równoodległe tzn.
$
h
>
0
"
k
Î
P
(
n
)
x
k
=
x
0
+
k
×
h
.
Oznaczmy
przez
q
=
x
-
x
0
i rozwa
my pierwszy wzór interpolacyjny Newtona
h
y
D
y
D
2
y
D
n
y
w
(
x
)
=
0
+
0
q
+
0
q
(
q
-
1
+
...
+
0
q
(
q
-
1
...
(
q
-
n
+
1
).
0
!
1
2
!
n
!
n
Szukamy warto
ci
i
− tej pochodnej funkcji
f
w punkcie
Korzystaj
c z reguł ró
niczkowania funkcji zło
onej otrzymamy,
e
dw
=
dw
×
dq
.
Poniewa
dq
=
dx
dq
dx
dx
h
dw
2
q
-
1
3
q
2
-
6
q
+
2
i
=
D
y
+
D
2
y
×
+
D
3
y
×
+
...
, wi
c
dq
0
0
2
!
0
3
!
df
dw
1
Ä
2
q
-
1
3
q
2
-
6
q
+
2
Ô
"
x
Î
[
x
,
x
]
(
x
)
»
(
x
)
=
×
Å
D
y
+
D
2
y
×
+
D
3
y
×
+
...
Õ
.
0
n
dx
dx
h
0
0
2
!
0
3
!
Æ
Ö
St
d w szczególno
ci otrzymamy,
e
df
dw
1
Ä
D
2
y
2
D
3
y
Ô
- dla q = 0
(
x
)
»
(
x
)
=
×
Å
Æ
D
y
-
0
+
0
+
...
Õ
Ö
,
dx
0
dx
0
h
0
2
!
3
!
df
dw
1
Ä
D
2
y
D
3
y
Ô
- dla q = 1
(
x
)
»
(
x
)
=
×
Å
D
y
+
0
-
0
+
...
Õ
,
dx
1
dx
1
h
0
2
!
3
!
Æ
Ö
df
dw
1
Ä
3
D
2
y
2
D
3
y
Ô
- dla q = 2
(
x
)
»
(
x
)
=
×
Å
Æ
D
y
+
0
+
0
+
...
Õ
Ö
.
dx
2
dx
2
h
0
2
!
3
!
Powy
sze wzory okre
laj
warto
ci pochodnych funkcji
f
w punktach w
złowych.
y
0
=
f
Rozwa
my przypadek, gdy znane s
warto
ci funkcji jedynie w trzech w
złach równoodległych
).
x
0
),
y
1
=
f
(
x
0
+
h
),
y
2
=
f
(
x
0
+
2
h
Stosuj
c oznaczenie
x
1
=
x
0
+
h
,
x
2
=
x
0
+
2
h
stwierdzamy,
e mo
emy obliczy
jedynie dwie ró
nice
D
y
0
=
y
1
-
y
0
,
oraz
D W tym przypadku naturalnym jest pomini
cie wyrazów
zawieraj
cych ró
nice rz
du wy
szego ni
2. Otrzymamy zatem,
e
2
y
=
(
y
-
y
)
-
(
y
-
y
)
=
y
-
2
y
+
y
.
0
2
1
1
0
2
1
0
"
x
Î
[
x
,
x
]
df
(
x
)
»
dw
(
x
)
=
1
×
Å
Æ
y
-
y
+
(
y
-
2
y
+
y
)
×
2
q
-
1
Õ
Ö
,
0
n
dx
dx
h
1
0
2
1
0
2
!
df
(
x
)
»
dw
(
x
)
=
1
×
Å
Æ
y
-
y
-
y
2
-
2
y
1
+
y
0
Õ
Ö
=
1
×
(
-
3
y
+
4
y
-
y
),
dx
0
dx
0
h
1
0
2
2
h
0
1
2
df
(
x
)
»
dw
(
x
)
=
1
×
Å
Æ
y
-
y
+
y
2
-
2
y
1
+
y
0
Õ
Ö
=
1
×
(
y
-
y
),
dx
1
dx
1
h
1
0
2
2
h
2
0
df
(
x
)
»
dw
(
x
)
=
1
×
Å
Æ
y
-
y
+
3
y
2
-
2
y
1
+
y
0
Õ
Ö
=
1
×
(
y
-
4
y
+
3
y
).
dx
2
dx
2
h
1
0
2
2
h
0
1
2
Wyznaczanie pochodnej rz
du drugiego
Drugiego rz
du pochodna wielomianu interpolacyjnego Newtona ma posta
:
d
2
w
d
dw
dq
d
2
w
Ä
dq
Ô
2
dw
d
2
q
d
2
w
Ä
dq
Ô
2
1
d
2
w
dq
= i
d
2
q
=
(
×
)
=
×
Æ
Ö
+
×
=
×
Æ
Ö
=
×
,
bo
=
0
.
St
d
dx
2
dx
dq
dx
dq
2
dx
dq
dx
2
dq
2
dx
h
2
dq
2
dx
h
dx
2
d
2
w
1
Ä
2
D
2
y
6
q
-
6
Ô
1
(
)
.
otrzymamy,
e
f
¢
(
x
)
»
(
x
)
=
×
Å
0
+
×
D
3
y
+
...
Õ
=
×
D
2
y
+
(
q
-
1
×
D
3
y
+
...
dx
2
h
2
Æ
2
!
3
!
0
Ö
h
2
0
0
Wstawiaj
c kolejno warto
ci
q
=
0
q
=
1
q
=
2
otrzymamy warto
ci pochodnej rz
du drugiego w
w
złach
f
¢
(
x
)
»
w
¢
(
x
)
=
1
×
(
D
2
y
-
D
3
y
+
...
),
f
¢
(
x
)
»
w
¢
(
x
)
=
1
×
(
D
2
y
+
...
),
0
0
h
2
0
0
1
1
h
2
0
1
f
¢
(
x
)
»
w
¢
(
x
)
=
×
(
D
2
y
+
D
3
y
+
...
).
2
2
h
2
0
0
Przy znajomo
ci warto
ci funkcji tylko w trzech w
złach, istnieje mo
liwo
obliczenia
pochodnej rz
du drugiego funkcji
f
jedynie w w
le
x
:
f
¢
(
x
)
»
1
×
(
y
-
2
y
+
y
)
.
1
h
2
2
1
0
(
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
Ä
Ô
[ Pobierz całość w formacie PDF ]