Ca ka troch teorii zadania, szkoła, wsb gdańsk, matematyka dobecki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
IV. RACHUNEK CAŁKOWY
4.1 Całka nieoznaczona.
Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) na przedziale X wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdego
x
∈ jest
() ( )
X
F
=
'
x
f
x
Całką nieoznaczoną nazywamy zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f(x) i
oznaczamy symbolem:
()
∫
f
x
dx
, zatem
( ) ( )
C
∫
f
x
dx
=
F
x
+
, przy czym dowolną stałą „C”
będziemy nazywali
stałą całkowania
.
4.2 Całka oznaczona.
Jeżeli z przedziału X wydzielimy podprzedział
a
∈
b
X
, przy czym funkcja f(x) jest ciągła,
określona i monotoniczna na
a
∈
;
b
X
, to całka funkcji f(x) na podprzedziale
a
∈
;
b
X
będzie nosić nazwę całki oznaczonej, a jej symbolem jest nst. zapis:
()
b
∫
f
x
dx
, zatem
a
b
() () ()
∫
f
x
dx
=
F
b
−
F
a
, przy czym F(a) oraz F(b) są wartościami funkcji pierwotnej F(x)
a
odpowiednio w punktach „a” i „b”.
4.3 Interpretacja geometryczna całki.
b
=
x
N
+
1
N
1
()
( ) ( )
∑
∫
f
x
dx
=
lim
f
x
+
x
*
x
−
x
δ
=
( )
x
−
x
→
0
2
i
i
+
1
i
+
1
i
a
=
x
N
+
1
i
i
=
1
1
25
.
Z powyższego wynika, że ogólną postać funkcji pierwotnej funkcji f(x) można zapisać nst.:
F(x) + C, gdzie „C” jest dowolną stałą.
;
i
4.4 Własności całek
∫
() ([ ] ( ) ( )
() ()
f
x
±
g
x
dx
=
∫ ∫
f
x
dx
±
g
x
dx
∫
k
*
f
x
dx
=
k
*
∫
f
x
dx
b
() ([ ] () ()
b
b
∫
f
x
±
g
x
dx
=
∫ ∫
f
x
dx
±
g
x
dx
a
a
a
b
b
∫
k
*
f
() ()
x
dx
=
k
*
∫
f
x
dx
a
a
4.5 Obliczanie całek – metody.
1.
wykorzystując przekształcenia funkcji, własności całek oraz wzorów na całki funkcji
podstawowych
2.
przez części
() () ( )() ( ) ( )
∫
u
x
*
v
'
x
dx
=
u
x
*
v
x
−
∫
u
'
x
*
v
x
dla całki nieoznaczonej
b
b
∫
u
() () () (( ) () ()
x
*
v
'
x
dx
=
u
x
*
v
x
b
a
−
∫
u
'
x
*
v
x
dx
przy czym wyrażenie
() ( ( )
a
u
*
v
x
a
a
oznacza nst. różnicę:
() () ( ) ( )
u
b
* −
v
b
u
a
*
v
a
3.
przez podstawienie
(( ) ( ) ( )
*
przy czym
w całce nieoznaczonej po prawej stronie
równania obowiązuje podstawienie g(x) = t
f
g
x
g
'
x
dx
∫
=
dt
f
t
b
(( ) ( ) ( )
β
przy czym
( ) ( )
∫
f
g
x
*
g
'
x
dx
=
∫
f
t
dt
α ;
=
g
a
β
=
g
b
a
α
Przykłady:
ad. 1
całka nieoznaczona
( )
1
−
x
3
1
−
3
x
+
3
x
2
−
x
3
1
3
x
3
x
2
x
3
∫
dx
=
∫
dx
=
∫ ∫ ∫ ∫
dx
−
dx
+
dx
−
dx
=
x
1
1
1
1
1
x
2
x
2
x
2
x
2
x
2
−
1
1
3
5
1
2
3
2
5
2
7
=
∫ ∫ ∫ ∫
x
2
dx
−
3
x
2
dx
+
3
x
2
dx
−
x
2
dx
=
2
x
2
−
3
*
x
2
+
3
*
x
2
−
x
2
+
C
=
3
5
7
=
2
x
−
2
x
3
+
6
x
5
−
2
x
7
+
C
5
7
całka oznaczona
( )
1
1
−
x
3
1
1
−
3
x
+
3
x
2
−
x
3
1
1
1
3
x
1
3
x
2
1
x
3
∫
dx
=
∫
dx
=
∫ ∫ ∫ ∫
dx
−
dx
+
dx
−
dx
=
x
1
1
1
1
1
0
0
x
2
0
x
2
0
x
2
0
x
2
0
x
2
1
1
1
1
1
3
1
5
1
1
3
1
5
1
7
1
2
2
2
−
=
∫ ∫ ∫ ∫
x
2
dx
−
3
x
2
dx
+
3
x
2
dx
−
x
2
dx
=
2
x
2
−
3
*
x
2
+
3
*
x
2
−
x
2
=
3
5
7
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
6
1
2
1
6
2
6
2
32
( ) ( )
=
2
x
−
2
x
3
+
x
5
−
x
7
=
2
−
0
−
2
−
0
+
−
0
−
−
0
=
−
=
5
7
5
7
5
7
35
0
0
0
0
26
∫
całka nieoznaczona
2
1
2
32
x
+
3
4
x
2
32
x
3
4
x
2
32
x
3
4
x
x
3
x
4
∫
dx
=
∫
+
dx
=
∫ ∫ ∫ ∫
dx
+
dx
=
2
dx
+
3
dx
=
x
x
x
x
x
1
1
x
2
x
2
1
−
1
6
7
4
3
12
=
2
∫ ∫
x
6
dx
+
3
x
4
dx
=
2
*
x
6
+
3
*
x
4
+
C
=
6
x
7
+
4
4
x
3
+
C
7
3
7
całka oznaczona
2
1
b
2
32
x
+
3
4
x
b
2
32
x
3
4
x
b
2
32
x
b
3
4
x
b
x
3
b
x
4
∫
dx
=
∫
+
dx
=
∫ ∫ ∫ ∫
dx
+
dx
=
2
dx
+
3
dx
=
x
x
x
x
x
1
1
a
a
a
a
a
a
x
2
x
2
b
1
b
1
6
7
b
4
3
b
12
12
( )
−
=
2
∫ ∫
x
6
dx
+
3
x
4
dx
=
2
*
x
6
+
3
*
x
4
=
6
b
7
−
6
a
7
+
4
4
b
3
−
4
4
a
3
7
3
7
7
a
a
a
a
całka nieoznaczona
cos
2
x
cos
2
x
−
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x
∫
dx
=
∫
dx
=
∫
−
dx
=
cos
2
x
*
sin
2
x
cos
2
x
*
sin
2
x
cos
2
x
*
sin
2
x
cos
2
x
*
sin
2
x
cos
2
x
sin
2
x
1
1
=
∫
dx
−
∫
dx
=
∫ ∫
dx
−
dx
=
−
ctgx
−
tgx
+
C
cos
2
x
*
sin
2
x
cos
2
x
*
sin
2
x
sin
2
x
cos
2
x
całka oznaczona
π
π
π
3
cos
2
x
3
cos
2
x
−
sin
2
x
3
cos
2
x
sin
2
x
∫
dx
=
∫
dx
=
∫
−
dx
=
cos
2
x
*
sin
2
x
cos
2
x
*
sin
2
x
cos
2
x
*
sin
2
x
cos
2
x
*
sin
2
x
π
π
π
4
4
4
π
π
π
π
3
cos
2
x
3
sin
2
x
3
1
3
1
π
π
=
∫
dx
−
∫
dx
=
∫ ∫
dx
−
dx
=
−
ctgx
3
−
tgx
3
=
cos
2
x
*
sin
2
x
cos
2
x
*
sin
2
x
sin
2
x
cos
2
x
π
π
π
π
π
π
4
4
4
4
4
4
=
−
1
−
()
( )
−
1
−
3
−
1
=
1
−
1
−
3
+
1
=
2
−
1
−
3
3
3
3
ad. 2
całka nieoznaczona
u
=
x
+
1
v
'
=
cos
x
∫
( )
x
+
1
cos
xdx
=
=
( )
x
+
1
*
sin
x
−
∫
1
*
sin
xdx
=
( ) ( )
x
+
1
*
sin
x
−
−
cos
x
+
C
=
u
'
=
1
v
=
sin
x
( )
=
x
+
1
*
sin
x
+
cos
x
+
C
całka oznaczona
π
π
2
u
=
x
+
1
v
'
=
cos
x
π
2
π
π
( )
( )
( )
( )
∫
x
+
1
cos
xdx
=
=
x
+
1
*
sin
x
2
0
−
∫
1
*
sin
xdx
=
x
+
1
*
sin
x
2
0
−
−
cos
x
2
0
=
u
'
=
1
v
=
sin
x
0
0
=
π
+
1
*
sin
π
−
(
( )
0
+
1
*
sin
0
)
+
cos
π
−
cos
0
=
π
+
1
*
sin
π
−
1
2
2
2
2
2
27
całka nieoznaczona
u
=
x
*
cos
x
v
'
=
cos
x
(
)
∫
x
*
cos
2
x
dx
=
=
x
*
cos
x
*
sin
x
−
∫
cos
x
−
x
*
sin
x
*
sin
xdx
=
u
'
=
cos
x
−
x
*
sin
x
v
=
sin
x
(
)
=
x
*
sin
x
*
cos
x
−
∫
cos
x
*
sin
x
−
x
*
sin
2
x
dx
=
x
*
sin
x
*
cos
x
−
∫
sin
x
*
cos
xdx
+
∫
x
*
sin
2
xdx
=
=
x
*
sin
x
*
cos
x
−
1
∫
2
sin
x
*
cos
xdx
+
∫
x
*
( )
1
−
cos
2
x
dx
=
x
*
sin
x
*
cos
x
−
1
∫ ∫ ∫
sin
2
xdx
+
xdx
−
x
*
cos
2
xdx
=
2
2
=
x
*
sin
x
*
cos
x
−
1
*
1
( )
−
cos
2
x
+
1
x
2
−
∫
x
*
cos
2
xdx
=
x
*
sin
x
*
cos
x
+
1
cos
2
x
+
1
x
2
−
∫
x
*
cos
2
xdx
⇒
2
2
2
4
2
⇒
∫
x
*
cos
2
x
dx
=
x
*
sin
x
*
cos
x
+
1
cos
2
x
+
1
x
2
−
∫
x
*
cos
2
xdx
⇒
2
∫
x
*
cos
2
x
dx
=
x
*
sin
x
*
cos
x
+
1
cos
2
x
+
1
x
2
4
2
4
2
⇒
∫
x
*
cos
2
x
dx
=
1
*
x
*
sin
x
*
cos
x
+
1
cos
2
x
+
1
x
2
=
1
x
*
sin
2
x
+
1
cos
2
x
+
1
x
2
=
F
()
x
2
4
2
4
8
4
całka oznaczona
∫
b
a
x
*
cos
2
xdx
=
{
przy tak długich obliczeniach, całkę oznaczoną można policzyć jako
nieoznaczoną (obliczona powyżej), a granice całkowania <a;b> wstawić do ostatecznej
1
1
1
b
postaci funkcji scałkowanej F(x)}
=
x
*
sin
2
x
+
cos
2
x
+
x
2
=
4
8
4
a
=
1
b
*
sin
2
b
+
1
cos
2
b
+
1
b
2
−
1
a
*
sin
2
a
+
1
cos
2
a
+
1
a
2
4
8
4
4
8
4
całka nieoznaczona
u
=
( )
ln
x
2
v
'
=
x
3
1
1
1
( )
( )
∫
2
2
∫
x
3
*
ln
x
dx
=
1
1
=
ln
x
*
x
4
−
2
ln
x
*
*
x
4
dx
=
u
'
=
2
ln
x
*
v
=
x
4
4
x
4
x
4
1
1
1
1
1
u
=
ln
x
v
'
=
x
3
( )
ln
x
2
*
x
4
−
∫
ln
x
*
*
x
4
dx
=
( )
ln
x
2
*
x
4
−
∫
ln
x
*
x
3
dx
=
1
1
=
u
'
=
v
=
x
4
4
2
x
4
2
x
4
=
( )
ln
x
2
*
1
x
4
−
1
ln
x
*
1
x
4
−
∫
1
*
1
x
4
dx
=
( )
ln
x
2
*
1
x
4
−
1
ln
x
*
1
x
4
−
1
∫
x
3
dx
=
4
2
4
x
4
4
2
4
4
=
( )
ln
x
2
*
1
x
4
−
1
ln
x
*
1
x
4
−
1
*
1
x
4
+
C
=
1
x
4
( )
ln
x
2
−
1
ln
x
+
1
+
C
=
F
()
x
4
2
4
4
4
4
2
8
28
całka oznaczona
b
∫
x
3
*
( )
ln
x
2
dx
=
{zamiana całki oznaczonej na nieoznaczoną}
a
u
=
( )
ln
x
2
v
'
=
x
3
1
1
1
( )
( )
∫
2
2
∫
x
3
*
ln
x
dx
=
1
1
=
ln
x
*
x
4
−
2
ln
x
*
*
x
4
dx
=
u
'
=
2
ln
x
*
v
=
x
4
4
x
4
x
4
1
1
1
1
1
u
=
ln
x
v
'
=
x
3
( )
ln
x
2
*
x
4
−
∫
ln
x
*
*
x
4
dx
=
( )
ln
x
2
*
x
4
−
∫
ln
x
*
x
3
dx
=
1
1
=
u
'
=
v
=
x
4
4
2
x
4
2
x
4
=
( )
ln
x
2
*
1
x
4
−
1
ln
x
*
1
x
4
−
∫
1
*
1
x
4
dx
=
( )
ln
x
2
*
1
x
4
−
1
ln
x
*
1
x
4
−
1
∫
x
3
dx
=
4
2
4
x
4
4
2
4
4
=
( )
ln
x
2
*
1
x
4
−
1
ln
x
*
1
x
4
−
1
*
1
x
4
+
C
=
1
x
4
( )
ln
x
2
−
1
ln
x
+
1
+
C
=
F
()
x
4
2
4
4
4
4
2
8
Zatem
b
1
1
1
b
1
1
1
1
1
1
∫
x
3
*
( )
ln
x
2
dx
=
x
4
( )
ln
x
2
−
ln
x
+
=
b
4
( )
ln
b
2
−
ln
b
+
−
a
4
( )
ln
a
2
−
ln
a
+
4
2
8
4
2
8
4
2
8
a
a
ad. 3
całka nieoznaczona
∫
sin
5
xdx
=
5
x
=
t
=
1
∫
sin
tdt
=
1
( )
−
cos
t
+
C
=
−
1
cos
5
x
+
C
5
dx
=
dt
5
5
5
całka oznaczona
π
5
x
=
t
1
β
α
=
0
1
5
π
1
5
π
( )
∫
sin
5
xdx
=
=
∫
sin
tdt
=
=
∫
sin
tdt
=
*
−
cos
t
=
5
dx
=
dt
5
β
=
5
π
5
5
0
α
0
0
=
−
1
cos
5
π
−
−
1
cos
0
=
1
+
1
=
2
5
5
5
5
5
Uwaga:
stosując metodę zamiany całki oznaczonej na „roboczą” całkę nieoznaczoną i powrót do całki
oznaczonej z policzoną funkcją
()
F
;
nie zmieniamy
granic całkowania!
x
π
∫
sin
xdx
{przejście z całki oznaczonej na nieoznaczoną}
5
=
0
∫
sin
5
xdx
=
5
x
=
t
=
1
∫
sin
tdt
=
1
( )
−
cos
t
+
C
=
−
1
cos
5
x
+
C
=
F
()
x
5
dx
=
dt
5
5
5
Zatem
π
1
π
−
1
−
1
1
1
2
∫
sin
5
xdx
=
−
cos
5
x
=
cos
5
π
−
cos
0
=
+
=
5
5
5
5
5
5
0
0
całka nieoznaczona
( )
cos
4
x
+
5
dx
=
4
x
+
5
=
t
=
1
∫
cos
tdt
=
1
sin
t
+
C
=
1
sin
( )
4
x
+
5
+
C
4
dx
=
dt
4
4
4
29
∫
[ Pobierz całość w formacie PDF ]