Calki 3 trygonom

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->CAŁKOWANIE FUNKCJI TRYGONOMETRYCZNYCHI. CAŁKI POSTACI:sinα+ sinβ= 2 sincosα+ cosβ=cosα−cosβ=Przykłady:1.sin 5x cos 3xdx =α+β2α−β212sinpxcosqxdx,cospxcosqxdx,sinpxsinqxdx.Rozwiązując tego typu całki, zamieniamy iloczyn funkcji sin, cos na sumę korzystając z wzorów:α+βcosα−βdla22α+βα−β2 cos2cos2dla−2sinα+βsinα−βdla22sinpxcosqxdxcospxcosqxdxsinpxsinqxdx122 sin 5x cos 3xdx =α= 8xβ= 2x(sinα+ sinβ)dx=12(sin 8x + sin 2x)dx =12−18cos 8x−12cos 2x +c= 5x, a stąd= 3x−132.=−1 1sin 5x2 5α+β=x2α−β= 4x2sinxsin 4xdx =−121(−2 sinxsin 4x)dx =−2(cosα−cosβ)dx=−12(cos 5x−cos(−3x))dx =−12(cos 5x−cos 3x)dx =cos 3x +cα= 5xβ=−3xsinnxcosmxdx, a stądII. CAŁKI POSTACI:1. Jeżelimjest liczbą nieparzystą, to podstawiamy:t= sinx.2. Jeżelinjest liczbą nieparzystą, to podstawiamy:t= cosx.3. Jeżelimjest liczbą nieparzystą injest liczbą nieparzystą, to korzystamy z podstawienia 1 lub 2.4. Jeżeliminsą liczbami parzystymi, to stosujemy tożsamości: sin2x=dopóki nie pojawi się nieparzysta potęga sin lub cos.Przykłady:1.=151−cos 2x,2cos2x=1+cos 2x2sin4xcos3xdx=(1)sin5x−17sin4x(1−sin2x)cosxdx=tdt==sinxcosxdx=t4(1−t2)dt=(t4−t6)dt =1 5t5−1t7+c=7sin7x+c(1)Zostawiamy tylko cosxw pierwszej potędze. Pozostałe cos2xzamieniamy z jedynki trygonometrycznej na 1−sin2x.2.=18sin4xcos2xdx=x−1x−218sin 4x1−cos 2x 2 1+cos 2xdx=1(1−cos22x−cos 2x + cos32x)dx =22811132x +c=1x−1sin 4x−1sin32x−2sin 2x +2sin 2x−6sin16431(x214+cdx=x+ccos22xdx =cos 2xdx =121+cos 4xdx2=+sin 4x) +ct= sin 2x1=2(1−t2)dt1dt= cos 2xdx2cosnxdx(szczególny przypadek II)1(t21−3t3) +c=1(sin 2x213sin 2x +c(1−sin22x) cos 2xdx =sinnxdx,=−sin32x) +ccos32xdx =III. CAŁKI POSTACI:Do obliczania powyższych całek można użyć wzorów rekurencyjnych:sinnxdx=−cosnxdx=IV. CAŁKI POSTACI:1n−1sinn−1x·cosx+nnsinn−2xdx,cosn−2xdx,n2n−11cosn−1x·sinx+nnn2W(sinx,cosx)dx,gdzieWjest funkcją wymierna.W(sinx,cosx)dxw zależnościdxsinxdx=−dtPrzykładysin3x,11+sin2xcosxsinxNiechW(u,v)będzie funkcją wymierną dwóch zmiennych. Wówczas do obliczania całek funkcji postaciod warunków, jakie spełnia funkcjaW, stosujemy podstawienia:WarunekW(−u,v)=−W(u,v)Wnieparzysta względem sinx(licznik albo mianownik„domnożony” przez sinxw nieparzystej potędze)W(u,−v)=−W(u,v)Wnieparzysta względem cosx(licznik albo mianownik„domnożony” przez cosxw nieparzystej potędze)W(−u,−v)=W(u,v)Wparzysta względem sinxi cosx(funkcje sinxi cosxtylko w parzystej potędze)W- dowolna funkcjaPodstawieniet= cosxPrzedstawienie funkcjisin2x= 1−t2t= sinxcos2x= 1−t2cosxdx=dt12 cos5xsin2x,cos3x1+3 cos4xt= tgxpodstawienieuniwersalnet= tgx2sin2x=cos2x=sinx=cosx=t21+t211+t22t1+t21−t21+t2dx=dt1+t2sin6xcos2x2x,2+sin4x1−3 cosdx=2dt1+t221,2 cosx3+5 sinxsinx−1mgr Dorota Grott SNM PG [ Pobierz całość w formacie PDF ]