Całka podwójna

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Obszarnormalnynapłaszczy¹nie
Definicja
(Obszarunormalnegowzgl¦demosi)
•
Obszardomkni¦ty
D
R
2
nazywamyobszaremnormalnym
wzgl¦demosiOX,je»elimo»nagozapisa¢wpostaci
8
<
9
=
:
(
x,y
)
2
R
2
:
a
6
x
6
b,g
(
x
)
6
y
6
h
(
x
)
D
=
;
,
gdziefunkcje
g
(
x
)
i
h
(
x
)
s¡ci¡głedla
x
2
[
a,b
]
oraz
g
(
x
)
<h
(
x
)
dla
x
2
(
a,b
)
.
2
•
Obszardomkni¦ty
D
R
2
nazywamyobszaremnormalnym
wzgl¦demosiOY,je»elimo»nagozapisa¢wpostaci
8
<
9
=
:
(
x,y
)
2
R
2
:
c
6
y
6
d,g
(
y
)
6
x
6
h
(
y
)
D
=
;
,
gdziefunkcje
g
(
y
)
i
h
(
y
)
s¡ci¡głedla
y
2
[
c,d
]
oraz
g
(
y
)
<h
(
y
)
dla
y
2
(
c,d
)
.
3
Przykładyobszarów,którenies¡normalne:
DefinicjaObszardomkni¦tyiograniczony
D
nazywamy
obszarem
regularnym
,je»elijestonsko«czon¡sum¡obszarównormalnych
(wzgl¦demosiOXlubOY).
4
Całkapodwójna
DefinicjaNiechfunkcja
f
=
f
(
x,y
)
b¦dzieci¡głanaobszarze
D
normalnymwzgl¦demosiOXlubOY.Wówczas
•
je»eli
D
jestobszaremnormalnymwzgl¦demosiOX,to
całk¦
podwójn¡poobszarze
D
definiujemywzorem:
0
1
h
(
x
)
f
(
x,y
)
dxdy
def
=
b
Z
@
A
dx
=
Z
Z
Z
f
(
x,y
)
dy
a
D
g
(
x
)
h
(
x
)
=
b
Z
Z
a
dx
f
(
x,y
)
dy,
g
(
x
)
•
je»eli
D
jestobszaremnormalnymwzgl¦demosiOY,to
całk¦
podwójn¡poobszarze
D
definiujemywzorem:
5
0
1
h
(
y
)
f
(
x,y
)
dxdy
def
=
d
Z
@
A
dy
=
Z
Z
Z
f
(
x,y
)
dx
c
D
g
(
y
)
h
(
y
)
=
d
Z
Z
c
dy
f
(
x,y
)
dx.
g
(
y
)
Całki
h
(
x
)
h
(
y
)
b
Z
f
(
x,y
)
dy,
d
Z
Z
Z
a
dx
c
dy
f
(
x,y
)
dx
g
(
x
)
g
(
y
)
nazywamycałkamiiterowanymi.
PrzykładZamieni¢całk¦podwójn¡zfunkcji
f
(
x,y
)
poobszarze
D
nacałk¦iterowan¡,je»eli
D
jestobszaremograniczonymliniami:
a)
y
=0
,y
=ln
x,x
=
e
b)
y
=
x,x
2
+
y
2
=2
x
dla
x
2
[0
,
1]
[ Pobierz całość w formacie PDF ]