Całka nieoznaczona cd

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Funkcjawymierna.Ułamkiproste
Funkcj¦ wymiern¡
P
(
x
)
, gdzie funkcje
P
(
x
)
i
Q
(
x
)
Definicja
Q
(
x
)
s¡ wielomianami, nazywamy:
ułamkiemwła±ciwym
, je»eli
st.P
(
x
)
<st.Q
(
x
)
,
ułamkiemniewła±ciwym
, je»eli
st.P
(
x
)
>
st.Q
(
x
)
.
Definicja
(Ułamkówprostych)
Funkcj¦ wymiern¡ postaci:
A
(
ax
+
b
)
n
,
gdzie
A,a,b
s¡ stałymi rzeczywistymi a
n
= 1
,
2
,...
, nazywamy
ułamkiemprostympierwszegorodzaju
.
 2
Funkcj¦ wymiern¡ postaci:
Ax
+
B
(
ax
2
+
bx
+
c
)
n
,
gdzie
A,B,a,b,c
s¡ stałymi rzeczywistymi,
n
= 1
,
2
,...
a
ax
2
+
bx
+
c
jest trójmianem nierozkładalnym
(
<
0)
,
nazywamy
ułamkiemprostymdrugiegorodzaju
.
Twierdzenie
Ka»d¡ funkcj¦ wymiern¡ b¦d¡c¡ ułamkiem wła±ciwym
mo»na przedstawi¢ w postaci sko«czonej sumy ułamków prostych
pierwszego lub drugiego rodzaju.
 3
Przykład
Rozłó» funkcj¦ wymiern¡ na ułamki proste, nie obliczaj¡c
odpowiednich stałych:
1
x
3
(
x
−
4)
f
(
x
) =
2
x
−
5
(
x
+ 4)
2
(
x
−
2) (
x
2
+ 1)
f
(
x
) =
3
x
2
+ 2
x
(3
x
+ 2)
2
(
x
2
+ 8) (
x
2
+
x
+ 1)
2
f
(
x
) =
 4
Całkowanieułamkówprostych
Ułamek prosty pierwszego rodzaju -
n
= 1
Z
1
1
ax
+
b
dx
=
a
ln
|
ax
+
b
|
+
C
Ułamek prosty pierwszego rodzaju -
n
= 2
,
3
,...
(
ax
+
b
)
−
n
+1
−
n
+ 1
Z
1
1
a
(
ax
+
b
)
n
dx
=
+
C
 5
Ułamek prosty drugiego rodzaju -
n
= 1
i
A
= 0
Z
1
ax
2
+
bx
+
c
dx
Trójmian kwadratowy sprowadzamy do postaci kanonicznej a na-
st¦pnie, stosuj¡c odpowiednie podstawienie, całk¦ powy»sz¡ sprowa-
dzamy do całki
Z
1
1 +
t
2
dt
Przykład
Z
1
x
2
−
2
x
+ 5
dx
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]