calka oznaczona wyklad 4

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ca“kaoznaczona
Wyk“ad(In»ynieriasanitarna)
•Ca“kaRiemanna
•Interpretacjageometryczna
•Podstawowetwierdzenia
•Zastosowaniageometryczneca“ekoznaczonych
•Ca“kiniew“a–ciwe
De
nicja1.(podzia“odcinka)
Podzia“emodcinka[a,b]nanczƒ–ci,gdzien2
N
,nazywamyzbi
ó
r
P={x
0
,x
1
,...,x
n
},
przyczyma=x
0
<x
1
<···<x
n
=b.
Oznaczenia:
Niech1
6
k
6
n.Wtedy
x
k
:=x
k
−x
k−1
-d“ugo–¢k-tegoodcinkapodzia“uP;
(P):=max{x
k
}-–rednicapodzia“uP;
x
k
2[x
k−1
,x
k
]-punktpo–rednik-tegoodcinkapodzia“uP.
De
nicja2.(sumaca“kowa)
NiechfunkcjafbÆ’dzieograniczonanaprzedziale[a,b]orazniechPbÆ’dzie
podzia“emtegoprzedzia“u.Sum¡ca“kow¡funkcjifodpowiadaj¡c¡podzi-
a“owiPorazpunktompo–rednimx
k
,tegopodzia“unazywamyliczbƒ
X
(f,P):=
f(x
k
)x
k
.
k=1
De
nicja3.(ca“kaoznaczonaRiemanna)
Niechfunkcjafbƒdzieograniczonanaprzedziale[a,b].Ca“kƒoznaczona
Riemannazfunkcjifnaprzedziale[a,b]de
niujemywzorem
Z
b
X
f(x)dx:=lim
(P)!0
f(x
k
)x
k
,
k=1
a
oilepowy»szagranicajestw“a–ciwainiezale»yodpodzia“uPorazwyboru
punkt
ó
wpo–rednichx
k
.
Uwaga1.FunkcjÆ’dlakt
ó
rejistniejeca“kaoznaczonaRiemannana[a,b]
nazywamyfunkcj¡ca“kowaln¡na[a,b].
Twierdzenie1.(Interpretacjageometrycznaca“kioznaczonej)
Je»elinaprzedziale[a,b]jestf(x)
>
0,topoleobszarule»¡cegopod“ukiem
krzywejy=f(x)r
ó
wnejestca“ceoznaczonej
Z
b
f(x)dx.
a
1
n
n
Je»eliza–naprzedziale[a,b]jestf(x)
6
0,topolepodkrzyw¡y=f(x)jest
r
ó
wne
Z
b
−
f(x)dx.
a
Ponadto
Z
b
a
Z
a
Z
f(x)dx=−
f(x)dx oraz
f(x)dx=0.
a
b
a
Twierdzenie2.(Newtona-Leibniza,zwi¡zekmiƒdzyca“k¡oznaczon¡anieoz-
naczon¡)
Je»elifunkcjafjestci¡g“anaprzedziale[a,b],to
Z
b
f(x)dx=[F(x)]
b
a
=F(b)−F(a),
a
gdzieFoznaczafunkcjƒpierwotn¡funkcjif.
‚
wiczenie1.Obliczpodaneca“ki:
2
Z
a)
e
−x
dx;
−1
e
dx
x
.
b)
1
Twierdzenie3.(oliniowo–cica“kioznaczonej)
Je»elifunkcjefigs¡ca“kowalnenaprzedziale[a,b],to
Z
b
f(x)+g(x)
dx=
Z
b
Z
b
f(x)dx+
g(x)dx;
a
a
a
Z
b
cf(x)
dx=c
Z
b
f(x)dx, gdziex2
R
.
a
a
Twierdzenie4.(oaddytywno–cica“kiwzglƒdemprzedzia“
ó
wca“kowania)
Je»elifunkcjafjestca“kowalnanaprzedziale[a,b]orazc2[a,b],to
Z
b
Z
c
Z
b
f(x)dx=
f(x)dx+
f(x)dx.
a
a
c
2
Z
‚
wiczenie2.Oblicz
3
Z
|x−2|dx.
−1
Twierdzenie5.(oca“kowaniuprzezpodstawienie)
Je»eli
1.funkcja':[,]![a,b]maci¡g“¡pochodn¡naprzedziale[,],
2.'()=a,'()=b,
3.funkcjafjestci¡g“anaprzedziale[a,b],
to
Z
Z
b
f
'(t)
'
0
(t)dt.
f(x)dx=
a
‚
wiczenie3.Obliczpodaneca“ki:
2
Z
1
Z
xdx
a)
xe
x
2
dx; b)
p
5−4x
.
0
−1
Twierdzenie6.(oca“kowaniuprzezczƒ–ci)
Je»elifunkcjefigmaj¡ci¡g“epochodnenaprzedziale[a,b],to
Z
b
f(x)g
0
(x)dx=
f(x)g(x)
b
Z
b
a
−
f
0
(x)g(x)dx.
a
a
‚
wiczenie4.Obliczca“ki:
Z
e
a)
ln
2
xdx;
p
3
2
Z
b)
arcsinxdx.
−
1
2
‚
wiczenie5.ObliczpoleograniczoneodcinkiemosiOX
odx=−1dox=1,rzƒdnymiwtychpunktachoraz“ukiemlinii
y=
1
x
2
+1
.
‚
wiczenie6.Obliczpoleograniczone“ukiemparaboliy
2
=2xorazprost¡
x=8.
3
1
 ‚
wiczenie7.Obliczpoleobszaruograniczonego“ukiemkrzywejy=x
3
+
x
2
−2x,odcinkiemosiOXorazrzƒdnymiwpunktachx=−2,x=2.
‚
wiczenie8.Obliczpola
gurograniczonychkrzywymi:
a)y=x
2
+
6x−7,y=1−x;
2
2
6
x
6
.
Twierdzenie7.(d“ugo–¢krzywej)
NiechfunkcjafbÆ’dzier
ó
»niczkowalnanaprzedziale[a,b].Wtedyd“ugo–¢
krzywej={(x,f(x)):x2[a,b]}wyra»asiƒwzorem:
Z
b
p
1+[f
0
(x)]
2
dx.
||=
a
‚
wiczenie9.Wyprowad„wz
ó
rnaobw
ó
dko“aopromieniur.
‚
wiczenie10.Obliczy¢d“ugo–cipodanychkrzywych:
a)y=lncosx,0
6
x
6
3
;
p
1−x
2
,0
6
x
6
1
2
.
Twierdzenie8.(objƒto–¢bry“yobrotowej)
Niechnieujemnafunkcjafbƒdzieci¡g“anaprzedziale[a,b].
Wtedyobjƒto–¢bry“yobrotowejograniczonejpowierzchni¡,kt
ó
rapowstaje,
gdy“ukkrzywejor
ó
wnaniuy=f(x)dlax2[a,b]obracasiƒdooko“aosi
OX,wyra»asiƒwzorem:
Z
b
V=
[f(x)]
2
dx.
a
‚
wiczenie11.Wyprowad„wz
ó
rnaobjƒto–¢kuliopromieniuR.
‚
wiczenie12.Obliczobjƒto–cibry“powsta“ychzobrotupodanychkrzywych
dooko“aosiOX:
a)y=
1
1
+
x
2
,0
6
x
6
1;
Twierdzenie9.(polepowierzchniobrotowej)
NiechnieujemnafunkcjafbÆ’dzier
ó
»niczkowalnanaprzedziale[a,b].Wtedy
4
b)y=
p
3cosx,y=sinx
−
b)y=
b)y=
p
xe
−x
,0
6
x
6
4.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]