calka nieoznaczona

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Ca“kinieoznaczone
Wyk“ad(In»ynieriasanitarna)
•Funkcjepierwotne
•Ca“kinieoznaczone
•Twierdzeniaoca“kachnieoznaczonych
•Ca“kowaniefunkcjiwymiernychiniewymiernych
•Ca“kowaniefunkcjitrygonometrycznych
De
nicja1.(funkcjapierwotna)
FunkcjaFjestfunkcj¡pierwotn¡funkcjifnaprzedziale(a,b),je»eli
F
0
(x)=f(x)
dlaka»degox2(a,b).
Twierdzenie1.(warunekwystarczaj¡cyistnieniafunkcjipierwotnej)
Je»elifunkcjajestci¡g“anaprzedziale(a,b),tomafunkcjƒpierwotn¡natym
przedziale.
De
nicja2.(ca“kanieoznaczona)
NiechFbƒdziefunkcj¡pierwotn¡funkcjif,aC2
R
dowoln¡sta“¡.Ca“k¡
nieoznaczon¡funkcjif,oznaczon¡symbolem
Z
f(x)dx,
nazywamyzbi
ó
rfunkcji
{F(x)+C}.
Mamyzatem
Z
f(x)dx=F(x)+C()[F(x)+C]
0
=f(x).
Ca“kiwa»niejszychfunkcjielementarnych
Z
1.
Z
0dx=C,C2
R
x
a
dx=
x
a+1
a+1
+C,x>0,a6=0
a)Dlaa=0,otrzymujemy:
Z
Z
dx=x+C
b)Dlaa=1,otrzymujemy:
Z
dx
p
x
=2
p
x+C,x>0
xdx=x
2
+C
c)Dlaa=−
1
2
,otrzymujemy:
Z
dx
x
2
=−
1
d)Dlaa=−2,otrzymujemy:
x
+C,x6=0
Z
3.
Z
sinxdx=−cosx+C
4.
cosxdx=sinx+C
1
2.
 5.
Z
1
sin
2
x
dx=−ctgx+C,sinx6=0
6.
Z
1
p
1−x
2
dx=arcsinx+C,−1<x<1
7.
Z
1
1+x
2
dx=arctgx+C
8.
Z
9.
e
x
dx=e
x
+C
Z
a
x
dx=
a
x
10.
Z
1
x
dx=ln|x|+C,x6=0
lna
,a>0,a6=1
11.
Z
dx
p
x
2
+k
=ln(x+
p
12.
x
2
+k)+C
‚
wiczenie1.Obliczy¢podaneca“kinieoznaczone:
a)
Z
Z
3
p
xdx;
x
5
dx;
b)
Z
dx
x
4
;
c)
Z
Z
dx
e
x
.
Twierdzenie2.(oliniowo–cica“kinieoznaczonej)
Je»elifunkcjefigmaj¡funkcjepierwotne,to
1.
e
x
dx;
e)
Z
Z
Z
(f(x)+g(x))dx=
f(x)dx+
(g(x)dx,
Z
Z
Z
2.
Z
(f(x)−g(x))dx=
Z
f(x)dx−
(g(x)dx,
3.
c·f(x)dx=c·
f(x)dx,gdziec2
R
.
‚
wiczenie2.Korzystaj¡cztwierdzeniaoliniowo–ciobliczy¢podaneca“ki
nieoznaczone:
a)
Z
(x−2e
x
)dx;
Z
x
2
−x+1
p
x
dx;
b)
2
Z
1
cos
2
x
dx=tgx+C,cosx6=0
d)
 Z
x
2
1+x
2
dx.
Twierdzenie3.(oca“kowaniuprzezpodstawienie)
Je»eli
1.funkcjaf:(a,b)!
R
jestci¡g“anaprzedziale(a,b),
2.funkcja':(A,B)!(a,b)maci¡g“¡pochodn¡naprzedziale(A,B),to
Z
Z
f(x)dx=
f('(t))'
0
(t)dt=F('(t))+C,
gdzieFjestdowoln¡funkcj¡pierwotn¡funkcjiforazC2
R
.
‚
wiczenie3.Stosuj¡codpowiedniepodstawienieobliczy¢podaneca“ki:
a)
Z
x
7
dx
p
1−x
16
;
b)
Z
cos
7
xdx;
p
c)
x
1+xdx;
Z
6
p
xdx
1+
3
p
x
;
Z
dx
1+e
3x
.
Twierdzenie4.(oca“kowaniuprzezczƒ–ci)
Je»elifunkcjefigmaj¡ci¡g“epochodne,to
Z
e)
Z
f(x)g
0
(x)dx=f(x)g(x)−
f
0
(x)g(x)dx.
‚
wiczenie4.Korzystaj¡cztwierdzeniaoca“kowaniuprzezczƒ–ciobliczy¢
podaneca“ki:
a)
Z
Z
xsinxdx;
b)
x
2
e
−x
dx;
Z
xdx
cos
2
x
;
c)
Z
d)
xarctanxdx.
De
nicja3.(ca“kafunkcjiwymiernej)
Funkcj¡wymiern¡nazywamyilorazdw
ó
chwielomian
ó
w.Ca“kafunkcjiwymiernej
jestwiÆ’cpostaci:
Z
W
1
(x)
W
2
(x)
dx=
Z
a
n
x
n
+a
n−1
x
n−1
+···+a
1
x+a
0
b
m
x
m
+b
m−1
x
m−1
+···+b
1
x+b
0
dx.
3
c)
Z
d)
Algorytmca“kowaniafunkcjiwymiernych
1.Je»elin
>
m,tolicznikdzielimyprzezmianownikifunkcjƒpodca“kow¡
przedstawiamyjakosumƒwielomianuorazfunkcjiwymiernejw“a–ciwej,w
kt
ó
rejju»stopie«licznikajestmniejszyni»stopie«mianownika(n<m).
2.Je»elin<m,tofunkcjƒpodca“kow¡rozk“adamynau“amkiproste,tj.
nawyra»eniapostaci:
(cx
2
+dx+e)
p
,
gdzieA,B,C,a,b,c,d,e2
R
s¡sta“e,przyczym=d
2
−4ce<0(wyr
ó
»nik
tr
ó
jmianucx
2
+dx+ejestujemny),ak,p2
N
.
(ax+b)
k
oraz
Bx+C
Twierdzenie5.(ca“kailorazupochodnejifunkcji)
Je»elifunkcjafmaci¡g“¡pochodn¡,to
Z
f
0
(x)dx
f(x)
=ln|f(x)|+C.
‚
wiczenie5.Obliczy¢podaneca“kifunkcjiwymiernych:
Z
x
2
+2
x+2
dx;
a)
Z
x
2
−4
x−1
dx;
b)
Z
x
3
x
2
−3x+2
dx;
c)
Z
x
5
+x
4
−8
x
3
−4x
dx;
d)
Z
x
4
+6x
3
+10x
2
+x
x
2
+6x+10
dx;
e)
Z
3x+1
x
2
+4x+4
dx;
f)
Z
6x
3
+4x+1
x
4
+x
2
dx.
Ca“kowaniefunkcjizawieraj¡cychpierwiastkizwyra»enia
liniowego
g)
Je»elifunkcjapodca“kowajestfunkcj¡wymiern¡potƒgzmiennejxo
wyk“adnikachpostaci
m
x=t
N
,
gdzieNoznaczawsp
ó
lnymianowniku“amk
ó
wpostaci
m
n
.
4
A
n
,gdziem,n2
N
s¡liczbamiwzglƒdniepierwszymi,
towykonujemypodstawienie
[ Pobierz całość w formacie PDF ]