calka krzywoliniowa

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Całki krzywolinioweBiałystok, lipiec 2015Copyright (C) 2015, Andrzej Pawluczuk. email: apawluczuk@vp.plWszystkie prawa zastrzeżone.Redystrybucja i używanie, czy to w formie tekstu źródłowego, czy w formie koduwykonywalnego, są dozwolone pod warunkiem spełnienia poniższych warunków:1.Redystrybucja tekstu źródłowego musi zawierać powyższe zastrzeżeniewłasności praw autorskich, niniejszą listę warunków oraz poniższe oświadczenieo wyłączeniu odpowiedzialności.Redystrybucja kodu wykonywalnego musi zawierać w dokumentacji lub winnych materiałach dostarczanych wraz z kopią oprogramowania powyższezastrzeżenie własności praw autorskich, niniejszą listę warunków oraz poniższeoświadczenie o wyłączeniu odpowiedzialności.Nazwisko autora nie może być użyte celem sygnowania lub promowaniaproduktów pochodzących od tego opracowania, bez szczególnego, wyrażonegona piśmie zezwolenia.2.3.To opracowanie jest dostarczone przez posiadacza praw autorskich „takim, jakie jest”.Każda, dorozumiana lub bezpośrednio wyrażona gwarancja, nie wyłączając dorozumianejgwarancji przydatności handlowej i przydatności do określonego zastosowania, jestwyłączona. W żadnym wypadku posiadacz praw autorskich nie może być odpowiedzialnyza jakiekolwiek bezpośrednie, pośrednie, incydentalne, specjalne, uboczne i wtórneszkody (nie wyłączając obowiązku dostarczenia produktu zastępczego lub serwisu,odpowiedzialności z tytułu utraty walorów użytkowych, utraty danych lub korzyści, atakże przerw w pracy przedsiębiorstwa) spowodowane w jakikolwiek sposób i napodstawie istniejącej w torii odpowiedzialności kontraktowej, całkowitej lub deliktowej(wynikłej zarówno z niedbalstwa, jak i innych postaci winy), powstałe w jakikolwieksposób w wyniku używania lub mające związek z używaniem oprogramowania, nawetjeśli o możliwości powstania takich szkód ostrzeżono.Zalecane jest zapoznanie się z rozważaniami zawartymi w dokumenciedotyczącym geometrii analitycznej oraz rachunku różniczkowego i całkowego.Andrzej Pawluczuk: „Całki krzywoliniowe”-3/15-Spis treściCałki krzywoliniowe nieskierowane....................................................................................................4Całki krzywoliniowe skierowane.......................................................................................................12CAndrzej Pawluczuk: „Całki krzywoliniowe”-4/15-ałka krzywoliniowa jest całką, w której całkowana funkcja przyjmujewartości wzdłuż określonej krzywej (krzywa stanowi drogę całkowania). Wprzypadku, gdy krzywa całkowania jest zamknięta (to jest w przypadku, gdypoczątek drogi całkowania pokrywa się z końcem drogi całkowania), to taką całkęokreśla się jako całkę okrężną.Funkcja podcałkowa może być polem skalarnym1lub wektorowym2. Z uwagi nato, całki krzywoliniowe dzieli się na dwa rodzaje:●całki krzywoliniowe nieskierowane lub niezorientowane (w przypadkuskalarnych funkcji podcałkowych),●całki krzywoliniowe skierowane lub zorientowane (w przypadku wektorowychfunkcji podcałkowych).W typowych zastosowaniach (w fizyce) pole może dotyczyć przestrzenidwuwymiarowej lub trójwymiarowej. Przykładem pola skalarnego w przestrzenitrójwymiarowej jest pole temperatury, które każdemu punktowi trójwymiarowejprzestrzeni fizycznej przypisuje temperaturę. W przypadku przestrzenidwuwymiarowej, każdemu punktowi powierzchni (przestrzeni dwuwymiarowej)przypisana jest temperatura. Przykładem pola wektorowego w przestrzenitrójwymiarowej jest pole magnetyczne, gdzie każdemu punktowi przestrzenitrójwymiarowej przypisany jest wektor indukcji magnetycznej.Całki krzywoliniowe nieskierowaneDo definicji całki krzywoliniowej nieskierowanej niezbędne jest określeniefunkcji pola skalarnegof(x , y)(na płaszczyźnie) lubf(x , y , z)(w przestrzeni)oraz łuku gładkiegoC(określonego na płaszczyźnie lub w przestrzeni). Całkęnieskierowaną pola skalarnegof(x , y)lubf(x , y , z)wzdłuż krzywej C zapisujesię następująco:∫f(x , y)dlClub∫f(x , y , z) dlCElementdlw powyższym zapisie jest fragmentem krzywej całkowaniaCi macharakter długości.Definicja całki krzywoliniowej nieskierowanej jest podobna do definicji całkiklasycznej. Krzywa całkowania jest podzielona na przedziałyC1,C2...Cn(rysunek1). W każdym przedziale wybrany jest punktA1,A2...An. Całka krzywoliniowaniezorientowana definiowana jest jako:1 Pole skalarne jest funkcją przypisującą każdemu punktowi w przestrzeni wielkość skalarną (liczbę).2 Pole wektorowe jest funkcją, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje wielkość wektorową.Andrzej Pawluczuk: „Całki krzywoliniowe”-5/15-Rys. 1: Podział krzywej całkowania na przedziałylim∫f(x , y)dl =δ(C ) →∑Ci=1nf(An)Δligdzie:●δ(C )jest największą długością fragmentu łukuCpodzielonego na kawałki,●Δlijest długością odpowiedniego kawałka łukuC.Reasumując, jest to suma nieskończenie wielu elementów będących iloczynamiwartości funkcji pola skalarnego i długości odpowiedniego odcinka łukuC(zdążającej do zera).W przypadku, gdy krzywa całkowania określona jest w sposób parametryczny (toznaczy, że są znane równania:x= x(t)iy= y(t)opisujące krzywą całkowania),to:gdzie:Δli=√(Δxi)2+(Δyi)2●Δli– długośći-tegoodcinka krzywej całkowaniaC,●Δxi=x (ti+Δt)−x(ti)– długość składowejx-owej i-tegoodcinka krzywejcałkowaniaC,●Δyi=y(ti+Δt)− y(ti)– długość składowejy-owej i-tegoodcinka krzywejcałkowaniaC. [ Pobierz całość w formacie PDF ]