Całka podwójna w prostokącie

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
Niech
P

 

x
,
y
:
a

x

b
c

y
d
f
:
f
– funkcja ograniczona
P

R
y
d
P
1
P
2
P
3
P
k
P
P
n
c
a
b
x

.
•
prostokąt
P
dzielimy na
n
prostokatów
k
P
o polach
n

•
w każdym z prostokatów
k
P
wybieramy punkt
 
k
k
,...,
, 
k
1
A

k
P
x
k
,
y
k
•
następnie tworzymy
sumę całkową
 
k


1
n
S

n
y
f
x
k
,
k

k
Wprowadzamy oznaczenia
d
k
– długość przekątnej prostokąta
P
k
–
średnica podziału
n
, gdzie
k
 jest największą długością przekątnej;

Tworzymy ciąg podziałów

N

n
d

:

1
max

k

n
n
prostokąta
P
.
n
nazywamy
ciągiem normalnym podziałów
, jeśli odpowiadający mu ciąg średnic
dąży do 0, tzn.

n

n




0
S

jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów
A
k
, to granicę tę
nazywamy
całką podwójną
funkcji

n
n
f
,
w prostokącie
P
i oznaczamy

x
y

P
d
f

x
,
y
Zatem


f

n
x
,
y
d

.
:

lim
n
0
S
P
1
 ,
Tworzymy następujący
podział
prostokąta
P
i oznaczamy
n
k
k
n
Definicja
Ciąg

N

n
Definicja
(całki podwójnej)
Jeśli dla każdego ciągu normalnego podziałów prostokąta
P
ciąg sum całkowych

N

Uwaga
Ograniczoność funkcji

xf
,
jest warunkiem koniecznym istnienia całki, lecz nie jest to
y
xf
–
funkcja ograniczona w prostokącie
P
oraz
ciągła poza
zbiorem miary
0
,
tzn. poza zbiorem punktów, który można pokryć skończoną liczbą prostokątów
o dowolnie małej sumie pól (mniejszej niż
ε
).
T:
f
jest całkowalna w prostokącie
P.
(
y
)
Wniosek
Z twierdzenia wynika:
1
f –
ciągła w
P
z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji
 

xy
,
),( 
gdzie
C
a
f
– całkowalna w
P
y
P
y=φ
(
x
)
, 
jest zbiorem miary
zero (można go pokryć skończoną liczbą
prostokątów o dowolnie małych polach)
xx
,
x
a
b
a
b
x
2
f –
ciągła w
P
z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji
 

yx
,
),( 
gdzie
C
c
f
– całkowalna w
P
y
c
P
d
x=ψ
(
y
)
x
Wniosek
Funkcja może nie być ciągła na brzegu prostokąta, a mimo to będzie całkowalna.
opracował Mateusz Targosz
2
warunek wystarczający.
Twierdzenie
(
o całkowalności funkcji dwóch zmiennych
)
Z:

b

Uzasadnienie:
zbiór
  

d

[ Pobierz całość w formacie PDF ]