całka-nieoznaczona

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozdzial 8
Calka nieoznaczona
§ 30. Definicja caiki nieoznaczonej
Funkcja pierwotna
Dana jest funkcja /okreslona w przedziale
E. Funkcja pierwotna funkcji f
w przedziale E
jest to funkcja
F
taka, ze
F\x) = flx)
dlax e£
czyli funkcja F, ktorej pochodna w kazdym punkcie
x
e
E
jest rowna war-
tosci funkcji/w tym punkcie.
Przyklad 1
Funkcja^ pierwotna, funkcji
f(x) = x
2
w przedziale
E
=
R
jest funkcja
/
= -x,
bo
F'(x) = -x
3
'
=--3x
2
=x
2
= f(x)
dla
x&R.
Takze
3
2
funkcja
F(x) = —x
3
+ 1
jest funkcja^ pierwotn^ funkcji
f(x) = x
2
w
R ,
bo
i
+(7)'=--3x
2
+Q =
x2
=f(x)
dla
xeR.
Rowniez funkcje
F(x) = -x
3
+Jl , F(x) = -x
3
+—,
F(jc) = -x
3
+3-
3 36 3 3
sa^funkcjami pierwotnymi funkcji /(jc) = x
2
w
R
. Kazda funkcja postaci
F(x) = jx
3
+C
(1)
gdzie
C
jest funkcja^ sta}% (krotko: stalaj jest funkcja, pierwotna, funkcji
f(x) = x
w
R .
Powstaje pytanie, czy istnieja, funkcje pierwotne funkcji
f(x) = x
2
w przedziale
E = R
innej postaci niz (1). Odpowiedz jest nega-
tywna.
§ 30. Definicja calki nieoznaczonej
Twierdzenie 1
Jesli F jest fimkcjqpierwotnqfunkcjifw przedziale E, tofunkcja
0(x) = F(x) + C
gdzie C jest stalq, jest takze funkcjq pierwotnq funkcji f w tym przedziale.
Innychfunkcji pierwotnychfunkcjafnie ma.
Calka nieoznaczona
Calka nieoznaczona funkcji fw przedziale
£ jest to zbior wszystkich funkcji
pierwotnych funkcji/ czyli zbior funkcji postaci
F(x) + C
dla
xeE
gdzie F jest dowolna^ funkcja. pierwotnq funkcji/w przedziale
E,
C jest
funkcja_stata_.
Calk? nieoznaczona, funkcji/zapisujemy
i czytamy
calkafunkcjifodx dx.
Zatem
gdzie
F'(x) = f(x)dlaxeE
i
C&R
-
symbol calki nieoznaczonej
x -
zmienna catkowania
fix)-
funkcja podcalkowa
dx --
rozniczka zmiennej catkowania pokazuja_ca, ze
x
jest zmienna^
calkowania
Przyklad 2
• = -x
2
+C,bo\-x
2
\
2
12
227
Rozdzial 8. Calka nieoznaczona
Przyklad 3
Uwaga
Calk?
\\dx
zapisujemy krocej
\dx ,
wi^c
\dx = x + C
Przyklad 4
Przyklad 5
f-
dx
= In
x + C
dlax e (0;oo), bo (in x)' = -
J x
x
Calkowanie
jest to obliczanie calki nieoznaczonej.
Twierdzenie o istnieniu calki nieoznaczonej
Twierdzenie 2
Jeslifunkcjafjest ciqgla w przedziale E, to istnieje w tym przedziale calka
nieoznaczona tej funkcji.
Funkcje niecalkowalne elementarnie
Funkcje niecalkowalne elementarnie
sa_to funkcje dla ktorych istnieje calka
nieoznaczona w pewnym przedziale
E,
jednak calka ta nie jest funkcj^ ele-
mentaraa^. Przyklady funkcji niecalkowalnych elementarnie
r
/ \
X f
/ -v ^"
r
/ \l A
f(x) = e * , f(x) = —,f(x)= -
X
X
Calki rych funkcji przedstawiamy w postaci szeregow.
§ 31. Tablica calek nieoznaczonych
Ponizej przedstawiamy wzory na calk? nieoznaczona^ niektorych funkcji.
Kazdy z tych wzorow jest prawdziwy w przedziale, w ktorym funkcja pod-
228
§ 31. Tablica calek nieoznaczonych
calkowa jest ciajia. Prawdziwosc ponizszych wzorow mozna sprawdzic
przez rozniczkowanie ich prawych stron. Wynikiem rozniczkowania po-
winna bye funkcja podcatkowa.
(2)
(3)
J^
=
7TT
r+1+Cdlar
*-
1
(4)
C
(5)
"
(6)
f«Mr-~ + C
(7)
J
Ina
\sinxdx = -cosx + C
(8)
jcosxc&c = smx + C
(9)
\\nxdx = xlnx-x + C
l
(10)
[tgxcfe = -ln|cosjc|+C
(11)
[ctgtt& = ln|sin.x|+C
2
(12)
-dx = tgx + C
(13)
J rns r
1
Patrz przyklad 27
2
Patrz przyklad 16
229
Rozdzial 8. Calka nieoznaczona
(14)
sm
x
§ 32. Metody
calkowania
Calkowanie funkcji pot^gowej
Podamy kilka przykladow obliczania caiki funkcji pot^gowej. Calk? funkcji
pot^gowej przedstawia wzor (4).
Przyklad 6
5 + 1
Przyklad 7
r 1
h-*
=
i
x
-
j
-2 + 1
Przyklad 8
Przyklad 9
/—
1
2
5
5
f*V*
J,,- [
XX
dx
-[
+
2~3
dx=
f
'
6(
f
x=
}
6
n
11
230
[ Pobierz całość w formacie PDF ]