calkowanie przez podstawieniex

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Jeżeli całkowanie przez części to zło w najczystszej postaci to całkowanie przez podstawienie
jest istnym narzędziem szatana.
Teoria mówi, że jeżeli funkcję
f(x)
można zapisać jako iloczyn jakiejś funkcji złożonej i
pochodnej funkcji wewnętrznej, to możemy ową funkcję wewnętrzną zastąpić nową zmienną
(zwykle zmiennÄ…
t
).
(nie wiem, czy ktoś to zrozumiał, ale prościej nie mogę, może czytelniejsze to będzie na
wzorze)
∫ ∫
( )
x
dx
=
g
( ) ( )
h
( )
x
´
h
¢
x
dx
=
∫
g
( )
t
dt
Przykład 1: obliczyć całkę:
∫
ln
x
dx
w tym przypadku stosujemy podstawienie
t
ln
x
.
x
Większość osób nie ma problemu z wyborem co podstawić pod
t
, ale problem zaczyna siÄ™,
gdy trzeba podstawić
dx
przez
dt
. Wyjaśniam po kolei jak to zrobić:
t
ln
=
x
Obustronnie liczymy pochodnÄ… po
x
:
t
ln
=
x
d
/
dx
d
t
=
d
ln
x
dx
dx
Wiemy, że pochodna
x
ln jest równa
x
1
, więc mamy:
dt
1
=
dx
x
Teraz obustronnie mnożymy przez
dx
:
dt
=
dx
x
f
=
A więc stosujemy podstawienie:
∫
ln
x
t
=
ln
dx
x
∫
1
dx
=
=
tdt
=
t
2
dt
=
x
2
x
Jak widzimy po podstawieniu nowopowstała całka jest prosta do wyliczenia. Teraz tylko
wracamy z powrotem do zmiennej
x
.
1
t
2
=
1
( )
ln
x
2
2
2
Przykład 2: obliczyć całkę
∫
xe
x
2
dx
t
=
x
2
1
1
1
∫
xe
x
2
dx
=
dt
=
2
xdx
=
∫
e
t
dt
=
∫
e
t
dt
=
e
t
1
2
2
2
dt
=
xdx
2
Wracamy do zmiennej
x
:
1
e
t
=
1
e
x
2
2
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]