Całki - przykłady z ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
f x
( )
( ) ?
¢
=
5
x
2
+
6
x
Obliczy
ę
całk
ħ
to odpowiedzie
ę
na pytanie jak wygl
Ģ
dała funkcja która ma tak
Ģ
pochodn
Ģ
.
F x
=
F x
( )
= ×
5
x
3
+
6
2
x
+
C
gdzie stała C mo
Ň
e byc dowoln
Ģ
liczb
Ģ
3
f x dx F x C
F x
( )
=
( )
+
( )
=
f x
( )
Wzory:
x
n
dx
x
n
n
+
1
1.
Ð
=
+
1
+
C
dla
n
¹ -
1
2.
gdy x = -1 to
1
x
dx
=
ln| |
x C
+
3.
Cf x dx C f x dx
Ð
( )
=
Ð
( )
4.
Ð
(
f x g x dx
( ) ( )
±
)
=
Ð
f x dx
( )
±
Ð
g x dx
5.
Ð
1
dx
=
ln(
x
-
1
)
dx C
+
x
-
1
Przykład:
Ä
Å
1
2
Ô
Õ
1
2
x
3
1
1
2
1
1
2
Ð
+
5
x
+
x dx
=
Ð
x
dx
+
Ð
5
x dx
+
Ð
xdx
=
ln| |
+ ×
5
+
+ =
x
3
=
ln| |
x
+
5
3
x
3
3
2
+
x
3
2
+
C
Przykład:
x
2
x
0 1
+
x
2
Ð
1
(
x
+
)
dx
=
Ð
xdx
+
Ð
1
dx
=
+
+ =
C
+ +
2
0 1
+
2
Przykład:
Ð
¢
Ð
( )
x
x
C
x C
Ä
Å
Ô
Õ
1
5
1
2
Ð
3
+
5
x
+
5
2
+
1
dx
=
3
Ð
dx
+
Ð
x dx
+
5
Ð
x
-
2
+
Ð
x
=
x
x
0 1
+
1
5
+
1
- +
2 1
- +
1
2
1
6
5
5 1
1
2
x
x
x
x
5
6
-
1
=
3
+
+
5
+
+ = +
C
3
x
x
+ -
( )
x
+
2
x
+ =
C
0 1
+
1
5
- +
2 1
1
2
1
+
- +
1
= +
3
x
5
6
x
6
5
5
-
x
-
1
+
2
x
1
2
+
C
Przykład:
Ð
1
dx
=
podstawiamy
(
x
- =
1
)
t
liczymy pochodn
Ģ
stronami:
x
-
1
(
x
- ¢ =
=
1
)
dx
dx dt
1
1
Ð
1
t
Ð
dx
=
dt
=
ln| |
t C
+ =
ln(
x
-
1
)
dx C
+
x
-
1
Przykład:
Ð
1
3 2
x
+
dx
=
podstawiamy
(
3 2
x
+ =
)
t
liczymy pochodn
Ģ
stronami:
3
dx dt
=
dx
=
dt
3
Ð
1
dt
=
1
3
Ð
1
dt
=
1
3
ln| |
t C
+ =
t
3
t
=
1
3
ln|
3 2
x
+ +
|
C
Przykład:
(
Ð
3 5
x
+
)
dx
=
podstawiamy
(
3 5
x
+ =
)
t
liczymy pochodn
Ģ
stronami:
3
dx dt
=
dx
=
dt
3
1
2
1
2
+
1
3
2
3
2
1
3
1
3
1
3
t
1
3
2
3
2
9
Ð
(
3 5
x
+
)
dx
=
Ð
t
dx
=
Ð
t dt
=
Ð
t dt
= ×
+ = × ×
C
t
+ =
C
t
+ =
C
1
2
+
1
=
2
9
(
3 5
x
+
)
3
2
+
C
Przykład:
-
Ð
x
2
Å
x
3
+
5
Õ
dx
=
podstawiamy
(
x
3
+ =
5
)
t
liczymy pochodn
Ģ
stronami:
x
2
3
x dx dt
2
=
dx
=
dt
3
1
2
1
2
+
1
2
3
3
2
dt
t
1
3
1
3
t
1
3
2
3
2
9
=
Ð
t
=
Ð
t dt
= ×
+ = × ×
C
t
+ = ×
C
Å
x
3
+
5
Õ
+
C
1
2
+
1
Uproszczenia mo
Ň
liwe w obliczeniach:
Uproszczenie 1.
Wyprowadzenie:
Rozwi
ĢŇ
my poni
Ň
szy przykład:
Ð
1
2 1
x
+
dx
=
podstawiamy
(
2 1
x
+ =
)
t
liczymy pochodn
Ģ
stronami:
2
dx dt
=
dx
=
dt
2
=
Ð
1
dt
=
1
2
ln|
2 1
x
+ +
|
C
t
2
Uproszczenie 1.
Ko
ı
cowy wzór:
Je
Ň
eli
w mianowniku
jest
funkcja
a
w liczniku
jest
pochodna tej funkcji
to całka jest równa:
ln| ( )|
f x C
+
Przykład1:
Ð
1
2 1
x
+
dx
=
Ð
1
2
×
(
2
2 1
x
+
)
dx
=
1
2
Ð
(
2
2 1
x
+
)
dx
=
1
2
ln|
2 1
x
+ +
|
C
Przykład2:
Ð
1
dx
=
Ð
1
2
×
2
2
x
Õ
=
dx
1
2
Ð
2
2
x
Õ
=
dx
1
2
ln|
x
2
+ +
|
C
2
Ä
Ô
Ä
Ô
x
+
5
Å
x
+
5
Å
x
+
5
Uproszczenie 2.
Wyprowadzenie:
Rozwi
ĢŇ
my nast
ħ
puj
Ģ
cy przykład:
Ð
dx
2
x
+ +
5 6
x
Nie mo
Ň
emy zastosowa
ę
poznanych wcze
Ļ
niej wzorów. Stosujemy metod
ħ
rozkładu na ułamki proste.
Sprowadzamy mianownik do postaci rozło
Ň
onej.
D =
b
2
-
4
ac
= - =
25 24 1
D = 1
x
1
=
- -
5 1
2
= -
3
x
1
=
- +
5 1
2
= -
2
5
Ð
dx
dx
=
Ð
dx
x x x x
dx
=
Ð
dx
dx
2
(
-
)(
-
)
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
x
+ +
5 6
x
1
2
Gdyby wyra
Ň
enie:
1
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
mo
Ň
na było przedstawi
ę
jako sum
ħ
dwu wyra
Ň
e
ı
A
+
B
(
x
+
3
) (
x
+
2
)
to mo
Ň
na by było zastosowa
ę
znane ju
Ň
wzory.
Zakładamy,
Ň
e s
Ģ
takie warto
Ļ
ci A i B które spełniaj
Ģ
te wyra
Ň
enia. Dokonajmy wi
ħ
c przekształcenia takiej
sumy wyra
Ň
e
ı
:
1
=
A
+
B
=
A x
(
+ +
2
)
B( x
+
3
)
=
Ax
+
2
A Bx
+
+
3
B
=
x A B
(
+
)
+
2
A B
+
3
(
x
+
3
)(
x
+
2
) (
x
+
3
) (
x
+
2
)
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
czyli:
1
=
x A B
(
+
)
+
2
A B
+
3
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
Je
Ň
eli strony równania s
Ģ
równe przy jednakowych mianownikach, wi
ħ
c liczniki s
Ģ
te
Ň
równe. Mo
Ň
emy wi
ħ
c
napisa
ę
:
1
=
x A B
(
+
)
+
2
A B
+
3
Obliczamy warto
Ļę
A i B dla których równanie b
ħ
dzie prawdziwe. Aby „x” nie miał wpływu na wyra
Ň
enie musi
by
ę
spełniony warunek :
x(A+B) = 0
b
ħ
dzie to zawsze spełnione gdy: A + B = 0
Przy takim warunku całe wyra
Ň
enie 1
=
x A B
(
+
)
+
2
A B
+
3
b
ħ
dzie prawdziwe gdy 2A+3B = 1
Mo
Ň
emy napisa
ę
układ równa
ı
z których wyliczymy warto
Ļę
A i B :
A B
A B
+ =
0
| (-2)
×
2
+
3
=
1
- - =
+
A
A B
B
2 0
A B
A
A
+ =
+ =
= -
0
1 0
1
2
3
=
1
0
+ =
=
1
B
1
Całe nasze wyra
Ň
enie przybierze posta
ę
:
Ð
dx
dx
=
Ð
-
+
1
dx
+
Ð
1
dx
=
-
Ð
1
dx
+
Ð
1
dx
=
-
ln|
x
+ +
| ln|
x
+ +
2
|
C
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
x
3
x
+
2
x
+
3
x
+
2
Uproszczenie 2.
Ko
ı
cowy wzór:
2
3
Ð
dx
dx
= -
ln|
x
+ +
| ln|
x
+ +
2
|
C
(
x
+
3
)(
x
+
2
)
Wzory:
Ð
e
x
dx e
x
=
+
C
Ð
sin
xdx
= -
cos
x C
+
Ð
cos
xdx
=
sin
x C
+
Ð
tgxdx
=
Ð
sin
cos
x
x
dx
=
:
cos
sin
sin
x t
xdx dt
xdx
=
obl. pochodn
Ģ
z obu stron
-
=
= -
dt
:
= -
Ð
dt
t
= -
ln|cos |
x C
+
Ð
tgxdx
= -
ln|cos |
x C
+
Ð
f x g x dx g x F x
( ) ( )
=
( ) ( )
-
Ð
F x g x dx
( ) ( )
¢
Przykład:
Ð
x e
x
dx
2
- mamy tu całk
ħ
z mno
Ň
enia
f x
( )
=
e
x
®
F x
( )
=
e
x
g x
( )
=
x
2
®
g x
( )
=
2
x
Ð
x e
x
dx x e
x
2
=
2
-
Ð
2
xe
x
dx
- mamy tu nast
ħ
pn
Ģ
całk
ħ
z mno
Ň
enia, post
ħ
pujemy podobnie
f x
( )
=
e
x
®
F x
( )
=
e
x
g x
( )
=
x
®
g x
¢
( )
= 1
=
x e
x
2
-
2
Ð
xe
x
dx x e
x
=
2
-
2
Å
xe
x
-
Ð
e
x
dx
Õ
=
=
x e
x
2
-
2
Å
xe
x
-
e
x
Õ
+
C
3
¢
[ Pobierz całość w formacie PDF ]