Calki wielokrotne, matematyka, matematyka wyższa
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
CAŁKA PODWÓJNA W PROSTOKĄCIE
Niech
P
x
,
y
:
a
x
b
c
y
d
f
:
f
– funkcja ograniczona
P
R
y
d
P
1
P
2
P
3
P
k
P
P
n
c
a
b
x
.
•
prostokąt
P
dzielimy na
n
prostokatów
k
P
o polach
n
•
w każdym z prostokatów
k
P
wybieramy punkt
k
k
,...,
,
k
1
A
k
P
x
k
,
y
k
•
następnie tworzymy
sumę całkową
k
1
n
S
n
y
f
x
k
,
k
k
Wprowadzamy oznaczenia
d
k
– długość przekątnej prostokąta
P
k
–
średnica podziału
n
, gdzie
k
jest największą długością przekątnej;
Tworzymy ciąg podziałów
N
n
d
:
1
max
k
n
n
prostokąta
P
.
n
nazywamy
ciągiem normalnym podziałów
, jeśli odpowiadający mu ciąg średnic
dąży do 0, tzn.
n
n
0
S
jest
zbieżny do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów
A
k
, to granicę tę
nazywamy
całką podwójną
funkcji
n
n
f
,
w prostokącie
P
i oznaczamy
x
y
P
d
f
x
,
y
Zatem
f
n
x
,
y
d
.
:
lim
S
n
0
P
1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
,
Tworzymy następujący
podział
prostokąta
P
i oznaczamy
n
k
k
n
Definicja
Ciąg
N
n
Definicja
(całki podwójnej)
Jeśli dla każdego ciągu normalnego podziałów prostokąta
P
ciąg sum całkowych
N
Uwaga
Ograniczoność funkcji
xf
,
jest warunkiem koniecznym istnienia całki, lecz nie jest to
y
xf
–
funkcja ograniczona w prostokącie
P
oraz
ciągła poza
zbiorem miary
0
,
tzn. poza zbiorem punktów, który można pokryć skończoną liczbą prostokątów
o dowolnie małej sumie pól (mniejszej niż
ε
).
T:
f
jest całkowalna w prostokącie
P.
(
y
)
Wniosek
Z twierdzenia wynika:
1
f –
ciągła w
P
z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji
xy
,
),(
gdzie
C
a
f
– całkowalna w
P
y
P
y=φ
(
x
)
,
jest zbiorem miary
zero (można go pokryć skończoną liczbą
prostokątów o dowolnie małych polach)
xx
,
x
a
b
a
b
x
2
f –
ciągła w
P
z wyjątkiem punktów położonych na krzywej, będącej wykresem
funkcji
yx
,
),(
gdzie
C
c
f
– całkowalna w
P
y
c
P
d
x=ψ
(
y
)
x
Wniosek
Funkcja może nie być ciągła na brzegu prostokąta, a mimo to będzie całkowalna.
opracował Mateusz Targosz
2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
warunek wystarczający.
Twierdzenie
(
o całkowalności funkcji dwóch zmiennych
)
Z:
b
Uzasadnienie:
zbiór
d
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI PODWÓJNEJ
Rozważamy funkcję ciągłą w prostokącie
P
,
aP
,
, .
c
d
f
. Wtedy suma całkowa
S
n
jest sumą objętości prostopadłościanów o polach
podstaw
i
i wysokościach
,
i
Af
gdzie
i
= 1, ...,
n
;
n
i
fS
n
A
1
i
i
wysokość pole
prostop. podstawy
| |
objętość prostopadłościanu
Jeżeli teraz
n
, to
,
lim
fS
a stąd
n
x
,
y
d
P
P
,
,
y
d
V
gdzie
V
oznacza objętość bryły ograniczonej płaszczyznami:
z=
0
, x=a, x=b, y=c, y=d
oraz powierzchnią
z=f
(
x,y
).
INTERPRETACJA FIZYCZNA CAŁKI PODWÓJNEJ
x
, - gęstość powierzchniowa masy prostokąta
P
,
-
masa prostkąta
P
x
, - gęstość powierzchniowa ładunku elektrycznego rozmieszczonego w
P
,
-
całkowity ładunek elektryczny prostokąta
P
opracował Jacek Zańko
1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
b
Niech 0
n
xf
1.
y
P
d
yx
2.
y
P
d
yx
WŁASNOŚCI CAŁKI PODWÓJNEJ
I. Liniowość całki.
f, g
– całkowalne w
P
,
1
O
αf + βg
– całkowalne w
P
oraz
2
O
,
R
f
g
d
fd
gd
P
P
P
II. Addywność całki względem obszaru całkowania.
f –
całkowalna w prostokącie
P
, gdzie
P
jest sumą dwóch prostokątów
P
1
,P
2
,
1
O
f
– całkowalna w
P
1
,
f
– całkowalna w
P
2
oraz
2
O
o rozłącznych wnętrzach,
P
P
1
P
,
2
fd
fd
fd
int
P
1
o
int
P
.
2
P
P P
1
2
III. Ograniczoność całki.
f
– całkowalna w prostokącie
P
,
m
:
inf
f
x
,
y
m
M
f
x
,
y
d
,
x
,
y
P
M
:
sup
f
x
,
y
P
gdzie
- pole prostokąta
P
.
x
,
y
P
Twierdzenie
(
całkowe o wartości średniej
)
Z:
f
, gdzie
C
(
P
) – klasa funkcji ciągłych na prostokącie
P
wartość średnia
C
P
1
T
:
A
P
:
f
(
A
)
f
,
x
,
y
d
gdzie
- pole prostokąta
P.
P
Dowód
Korzystając z właśności III otrzymamy oszacowanie wartości średniej
M
m
P
1
f
x
,
y
d
funkcja
f
ciągła, więc spełniona jest własność Darboux
A
P
:
f
(
A
)
1
f
x
,
y
d
P
□
1
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Twierdzenie
(
o zamianie całki podwójnej na całkę iterowaną
)
:
f
C
(
P
),
gdzie
P
a
,
b
c
,
d
d
b
T
:
f
x
,
y
d
f
x
,
y
dx
dy
P
c
a
oraz
b
d
f
x
,
y
d
f
.
x
,
y
dy
dx
P
a
c
Uwaga
Każdą z całek występujących po prawej stronie powyższych wzorów nazywamy
całką
iterowaną
.
Oznaczenia
1. Sybol
d
nazywamy elementem pola i oznaczamy
.
dxdy
2. Całki iterowane zapisujemy też w postaci.
d
b
ozn
.
d
b
f
x
,
y
dx
dy
dy
f
x
,
y
dx
c
a
c
a
b
d
ozn
.
b
d
f
x
,
y
dy
dx
dx
f
x
,
y
dy
a
c
a
c
Przykład
Obliczyć całkę podwójną
I
xy
2
dxdy
,
gdzie
P
:
0
x
2
.
0
y
3
P
więc możemy zastosować twierdzenie o zamianie całki
podwójnej na całkę iterowaną i wtedy
xf
,
y
xy
2
C
(
P
),
2
3
2
1
3
2
9
2
I
dx
xy
2
dy
xy
3
dx
9
xdx
x
2
18
3
2
0
0
0
0
0
0
opracował Jacek Zańko
2
Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.
Z
Ponieważ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]