Calki oznaczone

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Analiza matematyczna, całki oznaczone 1/36
Całki oznaczone
Poniższy rozdział będzie dosyć rozwarty, z dużą ilością przykładów. Temat, z którym się
dzisiaj zmierzymy, jest raczej mało ciekawy, eksperci powiedzą, że „cholernie nudnawy”. Nie ma w
nim nic „zaskakującego”, jedyne, co trzeba nowego wiedzieć do tego działu, to trudną i zdradziecką
operację odejmowania, albo czasem dodawania. Oczywiście – główną waszą zaletą, która w 90%
załatwia sprawę, ma być możliwość liczenia całek nieoznaczonych.
Pamiętacie doskonale ze szkoły średniej, że matma potrafi być tam strasznie interesująca.
Potrafiliście obliczyć deltę z funkcji kwadratowej, ale już wyzwaniem jest zadanie typu „Mam
nasiona konopi indyjskiej – tyle, ile trzeba, by spokojnie handlować i olać studia. Mam ze 10
metrów siatki. Jak zrobić taką prostokątną działeczkę, by miała ona jak największe pole?”, gdzie
zabawa również sprowadza się do funkcji kwadratowej.
Mówiąc inaczej, pierdolimy się z jebanymi deltami, wzorami, funkcjami
trygonometrycznymi (patrz pan, robotnicy zbudowali częstochowską Galerię Jurajską, a wątpię, by
któryś z nich korzystał z jakichś sinusów) czy wzorami redukcyjnymi. Ale ni chuja nie potrafimy
tego przenieść do rzeczywistości, do dupy, a nie do życia jest ta matma.
Całki oznaczone są takim fajnym bajerem, który może i mało się analizuje w matmie. Ale
akurat zastosowanie ma ogromne, niemal we wszystkich dziedzinach techniki. Mogę się założyć o
swoje zęby (wypadną mi niebawem z powodu nadużywania coca-coli), że pierwszy lepszy
wykładowca z elektroniki czy fizyki już pieprzy całkami, mimo że kompletnie nie wie, że tego się
w szkołach (już) nie uczy.
Ale my się nauczymy... no, chociaż spróbujemy. Poniżej minimalny spis treści:
Przypomnienie o całkach, co to całka oznaczona
2
Całki oznaczone – obliczanie przed podstawienie
11
Dzielenie obszarów całkowania
16
Zamiana zmiennych niezależnych
20
Przykłady z kolokwiów i egzaminów
25
I umawiamy się tak – przy logarytmie nie piszę wartości bezwzględnych. Pisze zamiennie
oś
y
, oś
Oy
, oś
OY itp
. Nie jestem matematykiem, tylko kiepskim studentem, z niepełną na pewno
wiedzą, więc błędów w zapisie jest więcej niż w ustawie o wychowaniu w trzeźwości. I ogólnie –
nie traktować tego jako podręcznik, tylko ewentualną, ostateczną pomoc, jak nic inne nie pomoże.
Autor: vbx
(c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 2/36
Przypomnienie, co to jest
Przypominania nigdy za wiele, więc przypomnijmy, co w ogóle nazwaliśmy tak dziwnie
„całką nieoznaczoną”.
Jak mamy sobie ulubiony przeze mnie logarytm:
y
=ln
x

to ja se z niego walnę pochodną (choćby z tablic):
y '
=
1
x
Odwrotną operacją od „walnę pochodną” jest „walnę całkę”, bądź bardziej sztywniarsko – obliczę
całkę nieoznaczoną:
∫
x
dx
=...
Przypomnijmy – ten „wężyk” to symbol całki, potem
1
x
, czyli to, co rąbiemy, a na końcu
dx
,
co oznacza „
x
jest se zmienną, po której ja se tutaj całkuję” i właściwie, służy ino do dekoracji.
No dobra, obliczamy:
∫
x
dx
=ln
x
...
(przypominam – w tablicach wynikiem jest wprawdzie ln∣
x
∣ , ale ja ten moduł pomijam dla
czystości zapisu, więc jak kogoś to razi – niech sobie domaluje długopisem czy mazakiem na
monitorze)
Pamiętamy, że do tego dodajemy liczbę (pochodną z takiej czystej i niewinnej liczby jest zero),
którą zwiemy „stałą całkowania” i oznaczamy jako
C
:
∫
x
dx
=ln
x

C
I już, po krzyku. Ale typowy student już zakrzyknie „kurwa, chcę się napić, a nie uczyć się
jakiś beznadziejnych całek, po chuja mi to?”
Wynik może i jest ładny, ale właściwie, nie wiadomo, co on oznacza (dlatego pewno „całka
nieoznaczona”). Obliczyliśmy jakąś funkcję, z którą ładnie można se pochodne liczyć, ale przyda
nam się to po coś?
Popatrzmy na rysunek, stworzony za pomocą specjalistycznego, komputerowego programu
do obliczeń, takiego, jakiego używają w NASA:
Autor: vbx
(c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 3/36
Mamy se układ współrzędnych, mamy se jakiś kawałek funkcji liniowej (ta taka kreska na
ukos), zaznaczyłem jakieś tam dwie liczby, no i wzorek tej funkcji.
Ja się teraz pytam „kurturalnie” - ile wynosi o to, szare pole:
Rewelacyjny rysunek, musicie sami przyznać, a obliczycie bardzo, bardzo prosto. Otóż
możemy sobie zauważyć, że będzie se to trójkąt, o jednym boku równym 2, o drugim równym a i
też 2. Ponieważ jest to trójkąt prostokątny, więc już krzyczymy „Yes, yes, yes”:
P
=
2∗2
2
=2
Prosto, do cholery. Ale ja zrobię ulubioną rzecz przez wykładowców, czyli „zagmatwam
sposób rozwiązania”.
Ktoś se kiedyś, pewno jakiś Newton czy Reimann, odkrył, że:
pole pod wykresem funkcji
=...=
F

b
−
F

a

*
Ale nam to wyjaśniło, normalnie, kurwa, brawo, i jeszcze jakieś kropki (zaraz się nimi zajmiemy).
Najpierw, czym jest
b
i
a
: są to skrajne argumenty,
b
– prawy,
a
– lewy. Pojedźcie stronę wyżej. W
tym przykładzie
b
będzie się równać 2 (bo pole ogranicza
x
= 2 z prawej strony), zaś
a
= 0 (z lewej
ogranicza go
x
= 0).
Wiemy, że:
∫
f

x

dx
=
F

x

C
mówiąc inaczej – całka „wypluwa” nam jakąś funkcję razem z C.
Autor: vbx
(c) 2010
Analiza matematyczna, całki oznaczone 4/36
Więc to nasze
F

b

będzie równe:
∫
f

x
=
F

x

C
=(podstawiamy za x - b)
F

b

F (x)
to jest po prostu jakiś
wzorek, funkcja, gdzieś tam
będzie gołe
x
, za które po
prostu podstawimy
b
.
Podobnie
F

a

. Cały problem, całe działanie
F

b
−
F

a

możemy zapisać w ładnej i
eleganckiej formie, którą zwiemy
całką oznaczoną
:
b
∫
a
f

x

dx
Jezu, ale namotałem. Postaram się odmotać przez rozwiązanie przykładu (a potem
prosiłbym o przeczytanie raz jeszcze tego, co napisałem).
Linia, która ogranicza to szare pole z góry, to wykres takiej funkcji:
f

x
=
x
Widzimy dodatkowo, że z lewej strony to pole jest ograniczone przez:
x
=0
Zaś z prawej:
x
=2
Skoro znamy „namiary” na linie, które ograniczają nam ten szary obszar, to obliczymy se teraz
całkę:
∫
f

x

dx
=
∫
x dx
=
x
2
2

C
x
2
2
To
to jest nasze
F

x

(„scałkowana” funkcja, która ogranicza nasze pole od góry; brak
stałej
C
zara wyjaśnimy).
Po raz kolejny – z lewej strony ogranicza
x
=0
, zaś z prawej:
x
=2
, więc:
pole pod wykresem funkcji
=...=
F
to, co ogranicza z prawej−
F
to, co ogranicza z lewej
więc obliczmy:
F
2−
F
0=[
x
2
2
]
0
=
2
2
2
=
4
2
=2
Właściwie, są to zapisy równoważne – te dwie liczby po prawej stronie
nawiasu kwadratowego oznaczają „podstaw to, co siedzi na górze, wylicz, podstaw to, co na dole,
wylicz, odejmij”.
Autor: vbx
(c) 2010
2
−
0
2
 Analiza matematyczna, całki oznaczone 5/36
Czy wynik, liczba 2 czegoś nie przypomina? Obliczyliśmy po raz pierwszy
całkę
oznaczoną
. Jeżeli zbyt zamotałem i nic już nie wiecie, to obliczymy raz jeszcze, korzystając z
zapisu:
b
∫
a
f

x

dx
Korzystając z danych w zadaniu:
2
∫
0
x dx
(nad wężykiem zawsze powinna być liczba większa od tej pod wężykiem)
Całkując:
2
x dx
=[
x
2
∫
0
2
]
0
całkujemy
2
]
0
=2−0=2
co już wcześniej wyliczyliśmy i co jest polem zakreślonego obszaru.
Idziemy dalej:
[
x
2
Zauważmy, że tutaj nie ma sensu mieszać w to stałej całkowania
C
, bo nawet jak, to:
∫
0
2
x dx
=[
x
2
2

C
]
0
=2
C
−0
C
=2
C
−
C
=2
Żadnych korzyści, a pomylić się jest łatwiej, o wiele łatwiej.
Autor: vbx
(c) 2010
[ Pobierz całość w formacie PDF ]