Calki i zakres 2012

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Zakres materiału obowi¡zuj¡cy na kolokwium (zaktualizowany 15.04.2012):
1. Całka nieoznaczona - całkowanie przez podstawianie, przez cz¦±ci, z zastosowaniem wzorów
na funkcje trygonometryczne (np. cosinus podwojonego k¡ta), całkowanie wielomianów oraz funkcji
wymiernych przez rozkład na ułamki proste.
2. Całka oznaczona Riemanna - wyznaczanie całek oznaczonych na przedziałach domkni¦tych (za
pomoc¡ wzoru Newtona - Leibniza przez odp. całk¦ nieoznaczon¡), obliczanie w prostych przypadkach
pól figur mi¦dzy krzywymi (danymi przez wykresy funkcji).
3. Macierze - wyznaczniki macierzy kwadratowych drugiego i trzeciego stopnia, działania na
macierzach (ich mno»enie, dodawanie, oraz mno»enie macierzy przez liczb¦), sprawdzanie odracalno±ci
macierzy (przez spr. czy wyznacznik jest ró»ny od zera) oraz wyznaczanie macierzy odwrotnej (metod¡
dopełnie« algebraicznych).
4. Rozwi¡zywanie układów równa« liniowych - metod¡ elimnacji Gaussa lub metod¡ wyznacznikow¡
Cramera w przypadku układów oznaczonych o kwadratowej macierzy współczynników (oczywi±cie
mo»na te» stosowa¢ metod¦ Cramera w poł¡czeniu z teori¡ rz¦du macierzy do dolownego typu układów,
która z pewno±ci¡ była prezentowana na wykładzie), okre±lanie rodzaju danego układu pod wzgl¦dem
ilo±ci rozwi¡za« (oznaczony - dokładnie jedno rozwi¡zanie, nieoznaczony - niesko«czenie wiele rozwi¡za«,
sprzeczny - brak rozwi¡za«). Uwaga: w przypadku układów nieoznaczonych nale»y zawsze wyznaczy¢
posta¢ ogóln¡ rozwi¡za«, tak jak robili±my to na ¢wiczeniach.
5. Liczby zespolone - dodawanie, mno»enie liczb zespolonych, wyznaczanie liczby odwrotnej do
danej liczby zespolonej (i tym samym dzielenie liczb zespolonych), wyznaczanie postaci trygonometrycznej
liczby zespolonej oraz obliczanie za jej pomoc¡ pot¦g (wzór Moivre’a) i pierwiastków tej liczby,
rozwi¡zywanie równa« kwadratowych nad ciałem liczb zespolonych oraz rozkład wielomianów na
czynniki liniowe nad ciałem liczb zespolonych.
6. Wyznaczanie dziedziny funkcji wielu zmiennych wraz z umiej¦tno±ci¡ stwierdzenia czy jest ona
otwarta.
7. Wyznaczanie pochodnych cz¡stkowych pierwszego i drugiego rz¦du funkcji wielu zmiennych,
umiej¦tno±¢ stwierdzenia na podstwie ci¡gło±ci pochodnych cz¡tkowych z czy dana funkcja jest klasy
C
1
lub
C
2
.
8. Wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji dwóch i trzech zmiennych klasy
C
2
.
Poni»ej podaje całki nieoznaczone które b¦d¡ obowi¡zywa¢ na kolokwium. Oczywi±cie ’warto±ci
liczbowe’ pojawiaj¡ce si¦ w funkcjach na sprawdzianie mog¡ by¢ inne. Niektóre z podanych ni»ej całek
zostało wyznaczonych na ¢wiczeniach lub znajduj¦ si¦ w ksi¡»ce W.Krysickiego i L. Włodarskiego
’Analiza matematyczna w zadaniach’ tom I na stronach 295 - 304 jako zadania lub rozwi¡zane
przykłady. Całki wymagaj¡ce u»ycia mniej standardowych metod zostały przeze mnie opatrzone
wskazówkami.
UWAGA: Nale»y bezwzgl¦dnie pami¦ta¢ całki funkcji elementarnych (podstawowych), mo»na je
znale¹¢ w ksi¡»ce Krysickiego na stronie 295, (15.2.2 - 15.2.10).
Z
Z
Z
Z
xe
x
2
dx,
xe
x
dx,
x
3
e
x
dx,
x
4
e
2
x
dx,
Z
Z
Z
Z
x
2
sin(5
x
)
dx,
x
2
cos
xdx,
x
sin
xdx,
x
cos
xdx,
Z
Z
Z
Z
(1)
sin
5
x
cos
xdx,
x
sin(2
x
2
+ 1)
dx,
6
1
−
x
dx,
sin
x
cos
xdx
,
2
3
x
Z
Z
Z
Z
e
x
sin
xdx,
e
−
2
x
sin(3
x
)
dx,
e
x
cos
xdx,
e
x
cos
dx,
Z
Z
Z
p
x
ln
xdx,
Z
Z
(2)
x
5
ln
xdx,
x
3
ln
xdx,
(ln
x
)
2
dx
ln
xdx,
,
1
 Z
Z
Z
Z
Z
(3)
(4)
arctan
xdx,
arcsin
xdx
,
tg
xdx
,
ctg
xdx,
ln
xdx,
Z
Z
p
Z
Z
Z
(5)
(6)
dx
dx
1
−
cos
x
sin
2
xdx,
cos
2
xdx,
p
,
1
−
x
2
dx,
1 +
x
2
Z
Z
ln
x
x
dx,
Z
Z
e
1
/x
x
2
dx.
x
2
2
x
+ 4
p
1
−
x
2
dx,
p
1
−
x
6
dx
,
(1) Skorzysta¢ ze wzoru na sin(2
x
).
(2) Wyznaczy¢ najpierw całk¦ z ln
x
(przez cz¦±ci) a nast¦pnie całkowa¢ przez cz¦±ci.
(3) Najpierw całkowa¢ przez cz¦±ci, a nast¦pnie wykorzysta¢ metode podstawiania (por. przykład
z funkcj¡ arctan
x
z ¢wicze«).
(4) Zapisa¢ tg za pomoc¡ sin i cos a n
ast¦pn
ie skorzysta¢ z twierdzenia o podstawianiu.
(5) Zastosowa¢
podsta
wienie:
t
=
x
+
p
1 +
x
2
(tzw. I podstawienie Eulera), podnosz¡c do kwadratu
p
1 +
x
2
wy
znaczy¢
x
w zale»no±ci od
t
a nast¦pnie
dx
w zale»no±ci od
tdt
. Teraz
pozostaje wyznaczy¢
równo±¢
t
−
x
=
p
1 +
x
2
=
t
−
x
w zale»no±ci od
t
. Wykorzystuj¡c otrzymane wyra»enia, zapisa¢
wyra»enie pod całk¡ w zale»no±ci od
t
, obliczy¢ całk¦ wzgl¦dem
t
i wróci¢ do podstawienia.
(6) Zauwa»y¢, »e 1
−
cos
x
= cos 0
−
cos
x
, skorzysta¢ ze znanego wzoru na cos
a
−
cos
b
=
...
,
a nast¦pnie zastanowi¢ si¦ czego pochodn¡ jest otrzymane wyra»enie pod całk¡ (je»eli wiadomo, »e
(ctg)
0
(
x
) =
−
1
cos
2
x
)
.
Ponadto, obowi¡zuj¡ całki z wielomianów, gdzie korzysta si¦ ze wzoru:
R
x
dx
=
x
+1
+1
+
C
, na
przykład (pierwiastki zamieniamy na odpowiednie pot¦gi):
Z
Z
x
3
p
x
+
4
p
x
x
2
dx
itp.
Z
(
x
2
−
x
+ 1)
2
dx.
x
(
x
−
1)(
x
−
2)
dx,
Obowi¡zuj¡ tak»e całki funkcji wymiernych postaci:
Z
Z
A
(
x
−
a
)
n
dx,
na przykład:
5
(
x
−
3)
4
dx,
oraz:
Z
Z
Z
2
x
+ 1
x
2
−
1
dx.
Ax
+
B
x
2
+
bx
+
c
dx,
na przykład
x
+ 1
x
2
+
x
+ 1
dx,
Prosz¦ pami¦ta¢, »e obliczaj¡c całk¦ postaci
R
dx
x
2
+
bx
+
c
w przypadku gdy wyró»nik mianownika jest
dodatni rozkładamy go na czynniki liniowe, a nast¦pnie cały ułamek pod całk¡ na ułamki proste (por.
Krysicki, od str. 305), za± w przypadku gdy wyró»nik jest ujemny sprowadzamy mianownik do postaci
(1 +
2
).
D. Czapla
2
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]