Całki

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
MATEMATYKA – Semestr II - Całki
dr Stanisław Kiełtyka
CAŁKI
¾
CAŁKA NIEOZNACZONA
•
CAŁKOWANI E PR ZEZ CZEŚCI
•
CAŁKOWANI E PR ZEZ PODSTAWI ENIE
•
CAŁKOWANIE FUNKCJI NIEWYM IERNYCH
•
CAŁKOWANIE FUNKCJI WYM IERN YCH
•
CAŁKOWANIE FUNKCJI TR YGONOM .
¾
CAŁKA OZNACZONA
•
NIEKTÓRE WŁASNOŚCI
•
GŁÓWNE TW. RACHUNKU CAŁKOWEGO
•
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE PIER WS ZEGO ROD ZAJU
•
CAŁKI NIEWŁAŚCIWE DRUGIEGO RODZAJU
•
POLE FIGUR Y PŁASKIEJ
•
DŁUGOŚĆ ŁUKU
PADER collection
- 1 -
MATEMATYKA – Semestr II - Całki
dr Stanisław Kiełtyka
CAŁKA
NIEOZNACZONA
Niech funkcja f(x) określona będzie w przedziale X.
Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X, jeżeli dla
każdego x∈X spełniony jest warunek
F’(x) = f(x)
X = [a,b]
X = (a,b)
X = (1,∞)
X = (-∞,2)
X = (-∞,∞)
Np.
f(x) = 2x + 1
X = ( -∞,+∞ )
f(x) = √x
X = [ 0, + ∞)
f(x) = x
2
+ x
X = ( -∞,+∞)
Funkcję f(x) mającą w danym przedziale funkcję pierwotną nazywamy całkowalną
(w sensie Newtona) w tym przedziale.
Wyznaczenie funkcji pierwotnych danej funkcji f(x) nazywamy całkowaniem
funkcji f(x).
Jakie funkcje posiadają funkcje pierwotne – tj. są całkowalne ?
Daje tw ier dzen ie :
Tw:
Każda funkcja ciągła w przedziale X ma w ym przedziale funkcję pierwotną.
Tw: (
Główne o funk cjach pierwotnych
)
Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X to:
•
funkcja ø(x) = F(x) + C gdzie: C – dowolna stała
jes t także funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale X
•
każdą funkcję pierwotną ø(x) funkcji f(x) w przedziale X można przedstawić w
postaci sumy F(x) + C
o
gdzie : C
o
– jest stosownie do Ø(x) i F(x) dobraną stałą.
PADER collection
- 2 -
Odpo wie dz na pytanie:
MATEMATYKA – Semestr II - Całki
dr Stanisław Kiełtyka
DOWÓD:
(1)
ø’(x) = [F(x) + C]’ = F’(x) = f(x)
dla każdego x z przedziału X tzn.
ø(x)
jest funkcją pierwotną
f(x)
.
(2)
Jeżeli
ø(x)
jest funkcją pierwotną funkcji
f(x)
w przedziale X, to funkcja
h(x) = ø(x) – F(x)
ma w tym przedziale pochodną
h’(x) = 0
ø(x) – F(x) = C
o
Stąd:
gdzie :
C
o
–
oznacza różnicę
ø(x
o
) – F(x
o
)
w dowolnym pkt.
x
o
Є
X
Wniosek :
Jeżeli
F(x)
jest funkcją pierwotną funkcji
f(x)
w przedziale X to suma
F(x) + C
gdzie: C – dowolna stała
przedstawia wszystkie funkcje pierwotne funkcji
f(x)
w przedziale X i tylko tę funkcję.
Def: (CAŁKI NIEO ZNACZO NEJ)
Zbiór wszystk ich funk cji pierwotnych funk cji f(x) przedziale X nazywamy całką
nieoznaczoną funk cji f(x) w przedziale X oznaczamy symbolem
∫
f(x)dx
e
x
f(x)
=
X
=
(0
,
+
∞
)
x
f(x)
=
sinx
X
=
(0
,
+
∞
)
x
f(x)
=
1
X
=
(0
,
+
∞
)
x
2
+
1
PADER collection
- 3 -
MATEMATYKA – Semestr II - Całki
dr Stanisław Kiełtyka
TWIERDZENIE:
Pochodna z całki równa jest funkcji podcałkowej
(
∫
f(x)
dx)'
=
f(x)
∫
f'
(x)dx
=
f(x)
+
C
np
.
(
∫
(2x
+
1)dx)'
=
2x
+
1
PODSTAWOWE WZOR Y
(1)
∫
0dx
= C

x
α
+
1

dla
α
≠
-1
∫
x
α
dx
=
α
+
1
(2)

ln
x
+
C
dla
α
=
-1
np.
x
4
∫
x
3
dx
=
+
C
4
1
x
1
+
1
∫
∫
3
x
dx
=
x
3
dx
=
+
C
1
+
1
3
∫ ∫
x
-
dx
=
1
dx
=
ln
x
+
C
x
a
x
∫
a
x
dx
=
+
C
a
>
0,
a
≠
1
(3)
lna
(4)
∫
e
x
dx
=
e
x
+
C
(5)
∫
sinxdx +
=
-
cosx
C
PADER collection
- 4 -
3
 MATEMATYKA – Semestr II - Całki
dr Stanisław Kiełtyka
(6)
∫
cosxdx +
=
sinx
C
(7)
∫
sin
1
2
x
dx
=
-
ctgx
+
C
(8)
∫
cos
1
2
x
dx
=
tgx
+
C
(9)
∫
+
1
dx
=
arctgx
+
C
1
x
2
(10)
∫
−
1
dx
=
arcsinx
+
C
1
x
2
TW.
Jeżeli funkcje f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale X to w tym przedziale całkowalne
są funkcje:
f(x) + g(x)
i
k*f(x)
gdzie: k - dowolna stała
przy czym
∫
[f(x)
+
g(x)]dx
=
∫ ∫
f(x)dx
+
g(x)dx
∫
k
⋅
f(x)dx
=
k
⋅
∫
f(x)dx
np.
x
2
x
3
∫
∫ ∫
[x
+
x
2
]dx
=
xdx
+
x
2
dx
=
+
+
C
2
3
x
3
∫ ∫
3x
2
dx
=
3
⋅
x
2
dx
=
3
⋅
+
C
=
x
3
+
C
3
PADER collection
- 5 -
[ Pobierz całość w formacie PDF ]