Calka potr

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Obszarnormalnywprzestrzeni
DefinicjaNiech
D
b¦dzieobszaremregularnymnapłaszczy¹nie
OXY
.Wówczasobszarograniczonyidomkni¦ty
V
R
3
postaci:
8
<
9
=
:
(
x,y,z
)
2
R
3
:(
x,y
)
2D
, h
(
x,y
)
6
z
6
g
(
x,y
)
V
=
;
,
gdziefunkcje
h
(
x,y
)
i
g
(
x,y
)
s¡ci¡głena
D
oraz
h
(
x,y
)
< g
(
x,y
)
dlapunktów
(
x,y
)
zwn¦trzaobszaru
D
,
nazywamy
obszaremnormalnymwzgl¦dempłaszczyzny
OXY
.
(Analogiczniedefiniujemyobszarynormalnewzgl¦dempłaszczyzn
OXZ
i
OY Z
).
2
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
(
x,y
)
2 D
V
:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
h
(
x,y
)
6
z
6
g
(
x,y
)
3
Całkapotrójna
Definicja
Niechfunkcja
f
=
f
(
x,y,z
)
b¦dzieograniczonai
ci¡głanaobszarze
V
normalnymwzgl¦dempłaszczyzny
OXY
.
Wówczas
całk¦potrójn¡poobszarze
V
definiujemywzorem:
g
(
x,y
)
f
(
x,y,z
)
dxdydz
def
=
Z
D
ZZ
Z
Z
Z
dxdy
f
(
x,y,z
)
dz.
V
h
(
x,y
)
Przykład
Niech
V
oznaczaostrosłupograniczonypłaszczyznami
układuwspółrz¦dnychorazpłaszczyzn¡
x
+
y
+
z
=4
.Całk¦
ZZ
Z
(4
−
x
)
dxdydz
V
sprowadzi¢docałkipojedy«czej.
4
Uwagi:(
ocałcepotrójnejwprostopadło±cianie
)
•
Je»elifunkcja
f
=
f
(
x,y,z
)
jestograniczonaici¡gław
P
=
(
(
x,y,z
)
2
R
3
:
a
1
6
x
6
a
2
, b
1
6
y
6
b
2
, c
1
6
z
6
c
2
)
,
5
to
f
(
x,y,z
)
dxdydz
=
a
2
a
1
dx
b
2
dy
c
2
ZZ
Z
Z
Z
Z
c
1
f
(
x,y,z
)
dz
=
P
b
1
c
2
a
2
b
2
b
2
c
2
a
2
Z
Z
Z
Z
Z
Z
=
c
1
dz
a
1
dx
f
(
x,y,z
)
dy
=
dy
c
1
dz
a
1
f
(
x,y,z
)
dx
=
...
b
1
b
1
•
Je»eliponadtofunkcja
f
(
x,y,z
)=
f
1
(
x
)
·
f
2
(
y
)
·
f
3
(
z
)
,to
ZZ
Z
f
(
x,y,z
)
dxdydz
=
P
0
1
0
a
2
1
b
2
0
c
2
1
Z
B
B
B
B
@
Z
C
C
C
C
A
·
Z
B
B
B
@
C
C
C
A
·
B
B
B
@
C
C
C
A
=
a
1
f
1
(
x
)
dx
f
2
(
y
)
dy
c
1
f
3
(
z
)
dz
b
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]