calki-nieoznaczone-funkcji-jednej-zmiennej

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Józef Szymczak
CAŁKI NIEOZNACZONE
(notatki z wykładu)
– określenie, podstawowe wzory i metody całkowania
¢
Funkcję
F
(
x
)
nazywamy funkcją pierwotną funkcji
f
(
x
)
, jeżeli
F
(
x
)
=
f
(
x
)
.
Jeżeli
f
(
x
)
ma funkcję pierwotną
F
(
x
)
, to
f
(
x
)
ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych
dających się opisać wyrażeniem
F
(
x
)
+
C
, gdzie C jest dowolną stałą (łatwo zauważyć, że wtedy
te
ż
¢
(
F
(
x
)
+
C
=
f
(
x
)
)
Definicja 1.
Całką nieoznaczoną funkcji
f
(
x
)
nazywamy zbiór wszystkich jej funkcji pierwotnych, co
zapisujemy symbolem:
∫
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
+
C
.
∫
jest znakiem całki,
f
(
x
)
to funkcja podcałkowa,
f
(
x
)
dx
to wyrażenie podcałkowe,
x
oznacza zmienną całkowania.
Niektóre własności całki nieoznaczonej:
1
o
.
∫
¢
(
)
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
,
2
o
.
∫
∫
a
×
a
×
f
(
x
)
dx
=
f
(
x
)
dx
(
a
jest pewną wartością stałą),
3
o
.
∫
∫
∫
=
.
(
f
(
x
)
±
g
(
x
))
dx
f
(
x
)
dx
±
g
(
x
)
dx
Podstawowe wzory dotyczące całek nieoznaczonych:
1.
∫
x
n
+
1
(
)
∫
n
,
x
=
dx
=
x
+
C
2.
dx
+
C
n
¹
-
1
,
n
+
1
1
2
3.
∫
∫
=
ln
x
+
C
,
dx
4.
dx
=
arctan
x
+
C
,
x
x
+
1
5.
∫
6.
∫
sin
xdx
=
-
cos
x
+
C
,
cos
xdx
=
sin
x
+
C
,
1
2
1
∫
∫
7.
dx
=
tan
x
+
C
,
8.
dx
=
arcsin
x
+
C
,
1
-
x
cos
x
2
a
x
(
)
x
x
x
∫
∫
e
=
e
9.
dx
+
C
,
10.
a
dx
=
+
C
a
>
0
a
¹
1
,
ln
a
11.
∫
12.
∫
shxdx
=
chx
+
C
,
chxdx
=
shx
+
C
,
Ć
wiczenie. Wyznaczy
ć
na podstawie powy
ż
szych wzorów kilkana
ś
cie całek nieoznaczonych, w
szczególności uwzględniając różne przypadki wzoru (2) w zależności od typu wykładnika potęgi.
g
¢
(
x
)
Zauwa
ż
my,
ż
e pochodna funkcji zło
ż
onej postaci
jest równa
, zatem wynika st
ą
d
ln(
g
(
x
))
g
(
x
)
prosty wniosek,
ż
e
∫
¢
g
(
x
)
.
=
ln
+
C
dx
g
(
x
)
g
(
x
)
Ćwiczenie. Wyznaczyć na podstawie powyższego wzoru kilka całek nieoznaczonych tego typu.
 2
Całkowanie przez podstawianie
Jeśli
f
(
x
)
jest funkcją ciągłą w przedziale
(
a
;
b
)
, a funkcja
x
=
j
(
t
)
ma ciągłą pochodną na
przedziale
a
<
t
<
b
i
a
<
j
(
t
)
<
b
dla
a
<
t
<
b
, to słuszny jest wzór
∫
∫
f
(
x
)
dx
=
f
(
j
(
t
))
×
j
¢
(
t
)
dt
Również słuszny jest wzór otrzymany z powyższego przez zamianę stron oraz zmiennych:
∫
∫
=
f
(
j
(
x
))
×
j
¢
(
x
)
dx
f
(
t
)
dt
Zastosowanie tych wzorów pokażemy na kilku przykładach.
5
(1)
Wyznaczyć całkę
∫
.
(3
x
+
2)
dx
Wykonując podstawienie
3
x
+
2
=
t
otrzymamy po obustronnym zróżniczkowaniu tej równości, że
1
3
dx
=
dt
, skąd
dx
=
dt
.
3
1
1
1
1
1
Możemy zatem zapisać:
∫
5
=
∫
dt
t
5
6
6
6
(3
x
+
2)
dx
=
t
+
C
=
t
+
C
=
(
3
x
+
2
)
+
C
.
×
3
3
6
18
18
1
∫
dx
.
(2)
Wyznaczyć całkę
x
2
+
a
2
Zapiszemy tu ciąg równości, z opisem sposobu podstawienia, ujętego w nawiasy bezpośrednio za
przekształcaną całką(najczęściej zapisujemy zamiast nawiasów faliste pionowe kreski):
x
=
at
1
1
1
a
∫
+1
2
∫
∫
dx
adt
dx
arctan
t
+
C
=
=
=
=
a
a
2
2
2
(
at
)
2
+
a
2
t
x
+
a
dx
=
adt
1
x
arctan
+
C
=
.
a
a
x
∫
dx
(3)
Metodą podstawiania wyznaczyć całkę
.
3
x
2
+
2
2
3
x
+
2
=
t
∫
-
1
1
∫
1
x
1
1
1
1
1
∫
2
dx
dt
dt
t
6
xdx
=
dt
=
=
=
2
+
C
=
t
+
C
=
3
x
+
2
+
C
.
×
2
t
3
3
3
x
2
+
2
1
xdx
=
dt
∫
sin
3
x
dx
(4)
Metodą podstawiania wyznaczyć całkę
.
cos
x
=
t
∫
∫
∫
∫
-
3
2
2
2
sin
x
dx
=
sin
x
×
sin
x
dx
=
sin
x
×
(
-
cos
x
)
dx
-
sin
xdx
=
dt
=
-
(
t
)
dt
=
sin
xdx
=
-
dt
1
1
∫
(
t
2
-
1
dt
t
3
-
t
cos
3
x
- cos
x
=
=
+
C
=
+
C
.
3
3
2
x
+
2
=
t
,
t
>
0
2
2
(5)
∫
=
∫
2
= 2
∫
4
2
5
3
2
=
x
x
+
2
dx
2
t
(
t
-
2
)
t
dx
(
t
-
2
t
)
dx
=
t
-
t
+
C
5
3
dx
=
2
tdt
2
2
=
(
x
+
2
)
5
-
(
x
+
2
)
3
+
C
5
3
 3
2
x
+
1
=
t
,
t
>
0
dx
t
t
+
2
-
2
2
(6)
∫
2
∫
∫
∫
2
dt
=
2
dt
=
2
(
-
)
dt
=
x
=
t
-
1
=
2
+
t
t
+
2
t
+
2
2
+
x
+
1
dx
=
2
tdt
2
t
-
4
ln
t
+
2
=
2
x
+
1
-
4
ln
x
+
1
+
2
.
=
+
C
+
C
(7)
Patrząc na przypadek (1) łatwo można zauważyć, że
1
jeżeli
∫
, to
∫
a
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)
+
C
f
(
ax
+
b
)
dx
=
F
(
x
+
b
)
+
C
.
a
1
Wynika to z podstawienia:
ax
+
b
=
t
, skąd
adx
=
dt
, czyli
dx
=
dt
.
a
Zatem możemy m.in. zapisać, że
,
1
∫
ax
ax
e
=
e
dx
+
C
a
1
∫
cos
axdx
=
sin
ax
+
C
,
a
1
∫
sin(
ax
+
b
)
dx
=
-
cos(
ax
+
b
)
+
C
,
a
1
1
∫
dx
=
ln
ax
+
b
+
C
.
a
ax
+
b
Całkowanie przez czĘŚci
Całkowaniem przez części nazywamy obliczanie całki wg formuły:
∫
∫
u
(
x
)
×
v
¢
(
x
)
dx
=
u
(
x
)
×
v
(
x
)
-
u
¢
(
x
)
×
v
(
x
)
dx
lub w skróconym zapisie
∫
∫
udv
=
u
×
v
-
vdu
są funkcjami mającymi ciągłe pochodne na pewnym wspólnym przedziale.
gdzie
u
(
x
)
i
v
(
x
)
Przykłady.
(8)
Obliczyć całkę
∫
×
.
x
sin
xdx
u
(
x
)
=
x
u
¢
(
x
)
=
1
Oznaczymy tutaj
. Stąd mamy
.
v
¢
(
x
)
=
sin
x
v
(
x
)
=
-
cos
x
∫
∫
Zatem
=
-
x
cos
x
-
=
-
x
cos
x
+
sin
x
.
x
×
sin
xdx
(
-
cos
x
)
dx
+
C
1
u
(
x
)
=
ln
x
¢
u
(
x
)
=
x
1
(9)
∫
xdx
∫
∫
=
=
x
ln
x
-
=
x
ln
x
-
=
x
ln
x
.
ln
x
×
dx
dx
-
x
+
C
x
v
¢
(
x
)
=
1
v
(
x
)
=
x
1
(10)
∫
arctgxdx
=
du
=
u
=
arctgx
dx
x
x
2
+
1
-
∫
xarctgx
=
=
dx
x
2
+
1
dv
=
dx
v
=
x
2
x
1
1
∫
2
=
xarctgx
-
=
xarctgx
-
ln(
x
+
1
+
dx
C
.
x
2
+
1
4
du
=
dx
u
=
x
1
1
(11)
∫
×
∫
x
cos
3
xdx
=
x
sin
3
x
-
sin
3
xdx
=
1
3
3
dv
=
cos
3
xdx
v
=
sin
3
x
3
1
1
=
x
sin
3
x
+
cos
3
x
+
C
.
3
9
2
du
=
2
xdx
du
=
dx
u
=
x
u
=
x
1
2
(12)
∫
∫
2
3
x
2
3
x
3
x
e
xe
x
e
dx
=
x
-
dx
=
1
3
3
1
3
x
3
x
3
x
3
x
v
=
e
dv
=
e
dx
v
=
e
dv
=
e
dx
3
3
1
2
1
1
1
2
2
∫
2
3
x
3
x
3
x
2
3
x
3
x
3
x
=
x
e
-
(
x
e
-
e
dx
)
=
x
e
-
x
e
+
e
+
C
=
3
3
3
3
3
9
27
1
2
2
2
3
x
=
(
x
-
x
+
)
e
+
C
.
3
3
9
x
e
cos
x
u
=
e
du
=
dx
(13)
∫
∫
e
x
sin
-
e
x
cos
e
x
cos
xdx
=
x
+
xdx
=
dv
=
sin
xdx
v
=
-
x
x
e
sin
x
u
=
e
du
=
dx
∫
-
e
x
cos
e
x
sin
e
x
sin
=
x
+
x
-
xdx
dv
=
cos
xdx
v
=
x
Ponieważ w powyższym ciągu równości otrzymaliśmy na końcu jako trzeci składnik całkę
identyczną za całką wyjściową, to z odpowiedniego porównania otrzymamy, że
∫
e
x
sin
x
x
2
-
e
cos
e
sin
xdx
=
x
+
x
, a więc ostatecznie
1
∫
e
x
sin
x
(sin
x
-
cos
e
xdx
=
x
)
+
C
.
Całki funkcji wymiernych
P
(
x
)
. Nazywamy ją
właŚciwĄ
, jeżeli
Funkcja wymierna
jest to funkcja postaci
W
(
x
)
=
Q
(
x
)
stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku.
Jeżeli stopień wielomianu w liczniku jest większy lub równy stopniowi wielomianu w
mianowniku, to mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa. Możemy ją przedstawić w
postaci sumy pewnego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej (po wykonaniu dzielenia
licznika przez mianownik).
Funkcję wymierną właściwą postaci
A
(
x
+
a
)
n
gdzie
n
Î
N
oraz
a
,
A
Î
R
, nazywamy
ułamkiem prostym pierwszego rodzaju
.
Funkcję wymierną właściwą postaci
Bx
+
D
(
x
+
px
+
q
)
2
n
2
gdzie
n
Î
N
oraz
p
,
q
,
B
,
D
Î
R
,
przy
czym
D
=
p
-
4
q
<
0
,
nazywamy
ułamkiem
prostym drugiego rodzaju
.
Uwaga
. Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista może być jednoznacznie przedstawiona w
postaci sumy ułamków prostych.
Przykłady.
(14)
Rozłożyć na ułamki proste funkcję
x
(bez obliczania współczynników)
.
x
-
8
x
+
16
4
2
5
x
x
Zauważmy, że funkcję tę możemy zapisać w postaci
, a dalej
.
(
x
2
-
4
)
2
(
x
-
2
)
2
(
x
+
2
)
2
Po rozłożeniu mianownika na czynniki, zapiszemy daną funkcję wymierną w postaci sumy
wszystkich możliwych ułamków prostych, ze współczynnikami nieoznaczonymi w licznikach, które
należy wyznaczyć z porównania stron zapisanej równoważności:
x
A
B
C
D
º
+
+
+
.
(
x
-
2
)
(
x
+
2
)
x
-
2
(
x
-
2
)
x
+
2
(
x
+
2
)
2
2
2
2
(15)
Rozłożyć na ułamki proste funkcję
x
+
2
3
2
, a więc
. Zauważmy, że
x
+
1
=
(
x
+
1
)(
x
-
x
+
1
x
3
+
1
przewidujemy następujący rozkład danej funkcji wymiernej na ułamki proste:
x
+
2
A
Bx
+
C
.
º
+
(
x
+
1
)(
x
-
x
+
1
x
+
1
x
-
x
+
1
2
2
Po wymnożeniu stronami tej równoważności mamy
1
2
x
+
2
º
A
(
x
-
x
+
1
+
(
Bx
+
C
)(
x
+
czyli
2
2
2
skąd po porównaniu współczynników z obu stron równoważności otrzymujemy układ równań
x
+
º
Ax
-
Ax
+
A
+
Bx
+
Cx
+
Bx
+
C
A
+
B
=
0
1
1
5
, i po podstawieniach otrzymamy, że
.
-
A
+
B
+
C
=
1
A
=
,
B
=
-
,
C
=
3
3
3
A
+
C
=
2
1
1
5
x
+
-
x
+
2
1
1
-
x
+
5
3
3
3
Zatem możemy zapisać, że
=
+
=
(
+
)
.
x
+
1
3
x
+
1
(
x
+
1
)(
x
2
-
x
+
1
x
2
-
x
+
1
x
2
-
x
+
1
Całkowanie ułamków prostych pierwszego rodzaju.
A
∫
+
dx
Całkę typu
, gdzie
n
³
1
i
n
Î
N
obliczamy stosując podstawienie
.
x
+
a
=
t
(
x
a
)
n
Otrzymujemy wtedy
A
ln
x
+
a
+
C
gdy
n
=
1
A
ln
t
gdy
n
=
1
+
C
A
A
∫
∫
dx
=
dt
=
(I)
=
-
A
n
A
1
gdy
n
>
1
(
x
+
a
)
n
t
n
+
C
-
+
C
gdy
n
>
1
-
1
(
n
-
1
)(
x
+
a
)
n
-
1
t
n
-
1
-
2
3
2
∫
∫
dx
=
3
ln
x
+
4
dx
=
Np. a)
+
C
, b)
+
C
.
3
x
+
5
x
+
4
(
x
+
5
3
4
Całkowanie ułamków prostych drugiego rodzaju.
1
∫
+
dx
Całkę typu
, gdzie
k
>
0
obliczamy wg znanego już wzoru
2
k
1
x
2
∫
dx
=
arctg
(II)
+
C
.
x
+
k
k
k
1
x
dx
∫
=
arctg
Np.
+
C
.
x
+
5
5
5
2
1.
Przy całkowaniu ułamków II rodzaju w ogólnej postaci dla
n
=1, przedstawiamy je jako
kombinację liniową dwóch ułamków o takim samym mianowniku: pierwszy z nich zawiera w
liczniku pochodną mianownika, a drugi pewną stałą. Oba te ułamki całkujemy metodą
podstawiania.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]