Całki funkcji elementarnych jednej zmiennej (vbx), PWr W3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)
1/32
Całki funkcji elementarnych jednej zmiennej
całkowanie przez części i przez podstawienie
Ten bryk będzie się nieco różnić od pozostałych. Tym razem skupimy się głównie na
przykładach, gdyż o ile liczenie pochodnych było dosyć „schematyczne” i polegało głównie na
zaglądaniu w tablice, to liczenie całek jest to
głównie korzystanie z doświadczenia i obycia w
nich
. Wiem, że to przykro zabrzmi, ale kilkanaście przykładów trzeba zrobić, gdyż praktycznie
każdy przykład wymaga osobnego potraktowania.
Ponieważ będą tutaj obecne głównie przykłady (a byście nie byli zdziwieni – głównie
zadania z książki jak zwykle bezcennego tandemu Gewert&Skoczylas „Analiza Matematyczna 1
Przykłady i Zadania”), raczej te łatwiejsze – bo trudniejszych sam nie umiem, a na łatwiejszych być
może łatwiej jest załapać, pozwolę sobie zamieścić poniżej króciutki spis treści:
1.
Przypomnienie o całkach
- strona 1
3. Całkowanie przez podstawienie
- strona 12
W pierwotnej wersji tych rozdziałów było siedem, ale, przyznam się szczerze – nie wiem,
jak wyrobię się z czasem, bo lubię być leniwy, mogę być pijany, skacowany albo kujonować, ile
wlezie, a nie na wszystkie egzaminy mogę zdążyć.
Dlatego, na razie – podstawowe metody przy całkowaniu.
Przypomnijmy sobie najpierw, o czym tak naprawdę mówimy.
1. Przypomnienie o całkach
Przy poprzedniej ściądze (z pochodnych) użyliśmy po raz pierwszy słowa „całka” przy tzw.
funkcji pierwotnej, uznając, że jeżeli:
F ' (x) = f (x)
to wtedy ta funkcja F (x) jest
funkcją pierwotną funkcji f(x).
Na przykład, funkcją pierwotną
1
x
był logarytm naturalny:
F (x) = ln x + C
gdzie C jest dowolną stałą (bo, jak wiadomo, pochodna z samej liczby równa się gów...
zero).
Takie „znajdowanie” funkcji pierwotnej to
całkowanie
, zaś funkcję pierwotną można
nazwać
całką nieoznaczoną
:
∫
f
x
dx
=
F
x
C
Znaczek
dx
, nie wdając się w szczegóły, pokazuje nam, która zmienna rozpieprza cały
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
2. Całkowanie przez części
- strona 3
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)
2/32
przykład i przyprawia nas o ból głowy. Nie powinno się zapominać o pisaniu
dx
, tak samo jak nie
powinno się zapominać o
lim
przed granicami. O ile przy granicach – da się przeżyć, ewentualnie
na końcu piszemy „dąży do”, to nie powinniśmy zapominać o tym
dx
– jak się później okaże, ten
„wskaźnik” jest bardzo ważny... ale nie niezastąpiony.
Wiele całek możemy obliczyć przez zgadywanie, albo zerżnięcie z tablic.
Na przykład, obliczmy taką całkę:
∫
x
3
5
x
2
dx
Wiemy, korzystając z
liniowości całki
, że jak mamy plus albo minus i nigdzie poza
nawiasem nie przeszkadzają nam pierwiastki, to możemy rozpieprzyć całkę na dwie:
∫
x
3
5
x
2
dx
=
∫
x
3
dx
∫
5
x
2
dx
*)
Na spokojnie obliczymy sobie osobno te całki, dla przejrzystości – tą stałą
C
dowalimy, jak
policzymy wszystko.
Z tablic wiemy, że:
∫
x
n
dx
=
x
n
1
n
1
Więc nasz pierwszy wężyk zamieni się w:
∫
x
3
dx
=
x
31
31
=
x
4
4
Pomajstrujmy z drugim. Wiemy, że stałe czynniki można wypieprzyć przed całki
(analogicznie, jak przy liczeniu pochodnych):
∫
5
x
2
dx
=5
∫
x
2
dx
Zabawa z policzeniem tego, co jest po prawej stronie wężyka, wygląda tak, jak poprzednio:
5
∫
x
2
dx
=5∗
x
3
3
Podstawiając wszystko do naszego wzorku *):
∫
x
3
dx
∫
5
x
2
dx
=
x
4
4
5
x
3
3
C
I wsio, przykład policzony.
Problem w tym, że rzadko kiedy zdarzają się przykłady właśnie typu „weź i rżnij w
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)
3/32
ulubiony przez siebie sposób”.
O, na przykład każą nam policzyć taką całkę:
∫
arcsin
x dx
Pewno niejeden (niejedna) z was spojrzy na tablice, „tak, elegancka pochodna z tego jest,
ale gdzie, do ciężkiej cholery, jest całka z tego?”.
Do liczenia tego typu całek (gdy np. pochodna tej funkcji w środku jest przyjemna w
całkowaniu albo przy dwóch, zupełnie różnych funkcjach) korzystamy z metody
całkowania przez
części
.
2. Całkowanie przez części
Być może wytrwali Czytelnicy (każdy taki jest chyba nienormalny) pamiętają, jak
wspominałem pod koniec bryku o pochodnych, by poeksperymentować z wzorem na iloczyn
pochodnych.
Przypomnę – jeżeli mamy se do policzenia pochodną z mnożenia dwóch jakiśtam cosiów, to
stosujemy taką fantazyjną, rodem z Kamasutry, roszadę:
[
f
x
∗
g
x
]
'
=
f '
x
∗
g
x
f
x
∗
g'
x
Jeżeli ja ją teraz obustronnie scałkuję (a co, moja kartka, mogę bazgrać, co tylko zechcę),
jednocześnie dodając to
dx
, by ludzie wiedzieli, która zmienna jest skazana, to wyjdzie nam taki
potworek:
∫
[
f
x
∗
g
x
]
' dx
=
∫
[
f '
x
∗
g
x
f
x
∗
g '
x
]
dx
Korzystając z faktu, że jeżeli pod całką mamy sumę – to mogę ją „rozbić” oraz z tego, że
całka wypierdala pochodną, to dojdziemy do takiego wzorku:
f
x
∗
g
x
=
∫
f '
x
∗
g
x
dx
∫
f
x
∗
g'
x
dx
Przenosząc pierwsze zwierzątko z prawej strony na lewą, dochodzimy do ostatecznego
wzoru na liczenie przez części:
∫
f
x
∗
g '
x
=
f
x
∗
g
x
−
∫
f '
x
∗
g
x
dx
No dobra, ale co to nam w ogóle da? Pojawia się dodatkowa całka po prawej stronie? Dwie
pochodne?
Panie, daj pan spokój, gdzie wódka?
Okazuje się jednak, że w tym szaleństwie jest metoda, którą pokażę na początku na prostym
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)
4/32
przykładzie:
Przykład a) [jak np. Aleksandria]
∫
ln
x dx
Patrzymy w podstawowe wzory... i tutaj lipa, bo brakuje logarytmu naturalnego.
Spokojnie, najpierw – ot tak, dla picu – dopiszę sobie jedynkę w tym przykładzie:
∫
ln
x
∗1
dx
Nic w tym nie ma zdrożnego, wartość się na pewno nie zmieniła. Ale ta funkcja powyżej
jest funkcją „wyjściową”, od której zaczniemy zabawę, czyli tym naszym początkiem wzoru na
całkowanie przez części:
∫
f
x
∗
g '
x
=
∫
ln
x
∗1
dx
I teraz zbudujemy sobie taką prostą tabelkę 2 x 2, w którą wpiszę sobie to, co na razie
wykombinowaliśmy (korzystając ze strzałek):
f
x
=ln
x
g '
x
=1
...
...
Teraz w miejsce kropek wpisujemy:
f
x
=ln
x g '
x
=1
f '
x
g
x
… no, na co czekamy, wypełnijmy ją do końca:
f
x
=ln
x
g '
x
=1
f '
x
=
1
x
g
x
=
x
*
Zauważcie, że w miejscu oznaczonym gwiazdką my g`(x) niejako całkujemy, ale przecież
obliczenie całki z jedynki nie jest takie trudne (oczywiście, olewamy również tą stałą całkowania
C
).
I teraz robimy takiego numera: mnożymy to, co leży na przekątnej (z lewej do prawej) tej
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Całki funkcji elementarnych (przez części, podstawienie)
5/32
tabelki:
f
x
=ln
x
g '
x
=1
f '
x
=
1
x
g
x
=
x
ln
x
∗
x
I odejmujemy całkę z iloczynu tego, co leży w drugim wierszu:
f
x
=ln
x
g '
x
=1
f '
x
=
1
x
g
x
=
x
ln
x
∗
x
−
∫
x
∗
x dx
Teraz, gdy spojrzymy sobie na ten nasz wymyślony wzór na całkowanie przez części:
∫
f
x
∗
g '
x
=
f
x
∗
g
x
−
∫
f '
x
∗
g
x
dx
Kurde, zgadza się, wyszedł nam tworek, którego da się wyliczyć, a więc:
∫
ln
x dx
=ln
x
∗
x
−
∫
x
∗
x dx
Dla porządku – policzmy tę całkę po prawej stronie:
∫
x
∗
x dx
( dx można traktować podobnie jak „i” w liczbach zespolonych – nic to to w sumie nie robi, ale
możemy ją w przekształceniach traktować jako zwykłą zmienną – czyli w powyższym przypadku np.
wyrzucić do mianownika)
Jak od razu zauważyliśmy, iksy się zniosą – pozostaje nam do policzenia prosta całka
∫
dx
,
która to oczywiście, zgodnie ze wzorami, jest równa
x
.
Więc
∫
ln
x dx
równa się:
∫
ln
x dx
=ln
x
∗
x
−
x
C
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
[ Pobierz całość w formacie PDF ]