calka potrójnie paskudna

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
CAŁKAPOTRÓJNA
Rozwa»myprostopadło±cian
P
,okre±lonywprzestrzeni
OXYZ
nierówno±-
ciami:
a
6
x
6
b
,
c
6
y
6
d
,
e
6
z
6
f
orazfunkcj¦trzechzmiennych
f
(
x
,
y
,
z
)okre±lon¡iograniczon¡wtym
prostopadło±cianie.
Prostopadło±cian
P
dzielimyna
n
prostopadło±cianów
P
k
oobj¦to±ciach
=
1
,
2
,...,
n
.Podziałtenoznaczymyprzez
n
.
Definicja1
(±rednicypodziału)
.
Niechd
k
oznaczadługo±¢przek¡tnejprostopadło±cianuP
k
.Liczb¦
n
=
max
1
6
k
6
n
d
k
nazywamy±rednic¡podziału
n
.
V
k
,
k
Wka»dymzprostopadło±cianów
P
k
wybieramypunkt
A
k
(
x
k
,
y
k
,
z
k
)i
bierzemypoduwag¦sum¦
S
n
=
n
X
f
(
x
k
,
y
k
,
z
k
)
·
V
k
k
=
1
nazywan¡sum¡całkow¡funkcji
f
(
x
,
y
,
z
)wprostopadło±cianie
P
.
Rozwa»mynast¦pnieci¡gnormalnypodziałów(
n
)prostopadło±cianu
P
.
Definicja2
(ci¡gunormalnegopodziałów)
.
Ci¡gpodziałów
(
n
)
nazywamyci¡giemnormalnympodziałówje»eli
odpowiadaj¡cymuci¡g±rednic
(
n
)
d¡»ydozera.
Definicja3
(całkipotrójnejpoprostopadło±cianie)
.
Je»elidlaka»degonormalnegoci¡gupodziałówprostopadło±cianuP
ci¡gsumcałkowych
(
S
n
)
jestzbie»nydotejsamejgranicywła±ciwej,
niezale»nejodwyborupunktówA
k
,tot¦granic¦nazywamycałk¡pot-
rójn¡funkcjif
(
x
,
y
,
z
)
wprostopadło±cianiePioznaczamysymbolem
ZZ
Z
ZZ
Z
f
(
x
,
y
,
z
)
dVlub
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
P
P
St¡d
ZZ
Z
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
def
n
X
=
lim
n
!
0
f
(
x
k
,
y
k
,
z
k
)
·
V
k
P
k
=
1
Je»elicałkapowy»szaistnieje,tofunkcj¦f
(
x
,
y
,
z
)
nazywamycałkowalna
poprostopadło±cianieP.SymboldVnazywamyelementemobj¦to±ci.
Niechfunkcja
f
(
x
,
y
,
z
)b¦dziefunkcj¡całkowaln¡wprostopadło±cianie
P
oobj¦to±ci
V
.
Definicja4.
Liczb¦
1
V
ZZ
Z
µ=
f
(
x
,
y
,
z
)
dV
P
nazywamywarto±ci¡±redni¡funkcjif
(
x
,
y
,
z
)
wprostopadło±cianieP.
Twierdzenie1
(całkoweowarto±ci±redniej)
.
Je»elifunkcjaf
(
x
,
y
,
z
)
jestci¡gławprostopadło±cianieP,toistnieje
takipunktC
2
P,»e
ZZ
Z
f
(
x
,
y
,
z
)
dV
=
f
(
C
)
·
V
P
Twierdzenie2
(oliniowo±cicałkipotrójnej)
.
Je»elifunkcjef
(
x
,
y
,
z
)
ig
(
x
,
y
,
z
)
s¡całkowalnenaprostopadło±cianie
P,to
Z
ZZ
Z
ZZ
Z
[
f
(
x
,
y
,
z
)
+
g
(
x
,
y
,
z
)]
dxdydz
=
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
+
g
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
ZZ
Z
ZZ
Z
P
P
[
C
·
f
(
x
,
y
,
z
)]
dxdydz
=
C
·
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
,
gdzieC
2
R
P
P
Twierdzenie3
(oaddytywno±cicałkiwzg.obszarucałkowania)
.
Je»elifunkcjaf
(
x
,
y
,
z
)
jestcałkowalnanaprostopadło±cianieP,todla
dowolnegopodziałutegoprostopadło±cianunaprostopadło±cianyP
1
i
P
2
orozł¡cznychwn¦trzachzachodzirówno±¢
Z
ZZ
Z
ZZ
Z
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
=
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
+
f
(
x
,
y
,
z
)
dxdydz
P
P
1
P
2
ZZ
P
ZZ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]