całość

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Egzamin z Algebry, 25 VI 2010, godz. 9.001. Zadanie wstępneZadanie√1.Zapisać w postaci kanonicznej (algebraicznej) 2iRozwiązanie:2i = 2(cosπ+isinπ)2√2ππ√+2kπ+2kπ22i =zk= 2(cos2+isin22) ,k= 0, 1√z= 2(cosπ+isinπ) = 1 +i44√5πz1= 2(cos4+isin5π) =−1 −i42.Dana jest1 2A=1 11 0macierz:3Odp.±(1+i)−13Wyznaczyć det (AT)−1.Rozwiązanie:det (AT)−1=|A|=−31detAy−1=z+1−23.Zapisać w postaci kierunkowej równanie prostej:2x +y−1 = 0l:x+y+z=0Rozwiązanie:Podstawiamy:x=t. Wtedyy−1y=−2t+ 1 =⇒t=−2z=−t+ 2t−1 =t−1 =⇒t=z+ 1x=(x−4)2(y−3)24.Obliczyć odległość środka elipsy+= 1 od początku układu 5925współrzędnych.Rozwiązanie:Środek eplisy:S(4,3)√OdległośćOS= 42+ 32= 55.Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej do sfery:x2+y2+z2= 12 w 2x+2y+2z−12 = 0punkcieP(2, 2, 2)Rozwiązanie:−→Wektor prostopadły do płaszczyzny stycznej:OP= [2, 2, 2]Równanie płaszczyzny stycznej: 2x + 2y + 2z +D= 012 +D= 0 =⇒D=−1212. Wyznaczyć pierwiastki wielomianuW(z) =z5+z4−3z3+4z2+2z wiedząc, żez1= 1+ijest jednym z nich. Przedstawić je w postaci kanonicznej (algebraicznej).Rozwiązanie:WielomianW(z) ma współczynniki rzeczywiste. Jego pierwiastkiem jest więc również:z2=z1= 1−iWielomianW(z) podzielny jest więc przez wielomian:(z−z1)(z−z2) = (z−1−i)(z−1 +i)= (z−1)2−(i)2=z2−2z + 2Mamy po wykonaniu dzielenia:z5+z4−z3+ 4z2+ 2z = (z2−2z + 2)(z3−3z2+z)z3−3z2+z=z(z2−3z + 1)stądz3= 0∆ = 9−4 =−5√3−5z4=2√3+ 5z5=2Odpowiedź:z1= 1 +iz2= 1−iz3= 0√3−5z4=2√3+ 5z5=223. Wykorzystując wzory Cramera wyznaczyć niewiadomązz układu równań:2x−2y−z+ 2t =−1x+ 2y +z+t= 0x+ 2y−z−t= 0x−2y−z−t= 0Rozwiązanie:|A3|z=|A|Obliczamy wyznaczniki:2−2 −132−2 −12121 01211={Rozw.Laplace’a wzgl.k4}=={k4=k4−k3}=|A|=12−112−1 −11−2 −11−2 −1 −11212−1=−3 ·(−2−2−2−2−2 + 2) = 243·(−1)511−2 −12−2 −1212112142−1=|A3|=={Rozw.Laplace’a wzgl.k3}=−1·(−1)112−11−2 −11−2−1−(−2 −2−2−2−2 + 2) = 881z==243Odpowiedź:z=1334. Zapisać w postaci ogólnej równanie płaszczyznyπ2, która zawiera prostąx= 1 + 2ty=2+t , t∈Rl:z=−3ti jest prostopadła do płaszczyznyπ1: 3x−2y + 4z + 6 = 0Rozwiązanie:Wektor kierunkowy prostej:→= [2, 1,−3]−vWektor normalny płaszczyznyπ1:→= [3,−2,4]−n1− −Wektor normalny płaszczyznyπ2jest prostopadły do wektorów:→i→,a intersujev n1nas tylko kierunek tego wektora, więc→=→ × →= [−2,−17, −7]−− −nvn21Równanie płaszczyznyπ2:−2x −17y−7z +D= 0Płaszczyzna przechodzi przez punkt prostej dlat= 0 :P(1, 2, 0)Stąd:−36+D= 0 =⇒D= 36Równanie płaszczyznyπ2:−2x −17y−7z + 36 = 0Odpowiedź:Równanie płaszczyznyπ2:−2x −17y−7z + 36 = 045. Znaleźć odległość prostejl:2x +y+ 1 = 0,t∈Rx−z=0od płaszczyznyπ:x+y−z+ 7 = 0Rozwiązanie:Sprawdzamy, czy prostaljest równoległa do płaszczyzny.Szukamy wektora kierunkowego prostej:Podstawiamy:x=tZ równania prostej:z=ty=−2t −1Stąd wektor kierunkowy prostej:→= [1,−2,1]−vWektor normalny płaszczyzny:→= [1, 1,−1]−nObliczamy:→ · →= 1−2−1 =−2= 0− −v nProsta nie jest równoległa do płaszczyzny, więc ją przecina, czyli odległość jest równazero.Odpowiedź:Odległośćd= 05 [ Pobierz całość w formacie PDF ]