calkowanie rown rozn prostokatow ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->KATEDRA URZĄDZEŃ I SYSTEMÓW AUTOMATYKILABORATORIUMMETOD NUMERYCZYCHW TECHNICECAŁKOWANIE NUMERYCZNEINSTRUKCJA LABORATORYJNAWERSJA ROBOCZAOPRACOWAŁ:mgr inż. Tomasz KWAŚNIEWSKIPOLITECHNIKAŚWIĘTOKRZYSKAKIELCE 20111. Całkowanie numeryczneCałkowanie numeryczne polega na obliczeniu całki oznaczonej na podstawie funkcjipodcałkowej w pewnych punktach przedziału całkowania [1]. Odpowiednie zależności dająceposzukiwaną wartość przybliżoną całki nazywane sąkwadraturami.Funkcję podcałkowązastępuje się w przedziale [a,b]funkcją interpolującą lub aproksymującą o możliwie prostejpostaci dla której znana jest funkcja pierwotna. Punkty w których obliczane są wartościfunkcji podcałkowej występującej w kwadraturze nazywane są węzłami kwadratury.Dana jest funkcjaf(x)ciągła w przedziale [a,b]:JeżeliF’(x) = f(x) to∫f(x)dx=F(b)−F(a)abF - funkcja pierwotna funkcji fW instrukcji laboratoryjnej rozpatrywane będątrzy kwadratury:•••metoda prostokątów,metoda trapezów,metoda Simpsona.2. Metoda prostokątówW metodzie prostokątów korzystamy z definicji całki oznaczonej Riemanna, w którejwartośćcałki interpretowana jest jako suma pól obszarów pod wykresem krzywej w zadanymprzedziale całkowania [a,b].Sumętęprzybliżamy przy pomocy sumy pól odpowiedniodobranych prostokątów. Sposób postępowania jest następujący:Rysunek 1. Złożona metoda prostokątów.Algorytm:Przedział całkowania [a,b]dzielimy nanrówno odległych punktówx1,x2,...,xn. Punktywyznaczamy w prosty sposób wg wzoru:xi=a+h⋅(2⋅i−1)2, dlai= 1,2, …n.b−a,nodległośćpomiędzy kolejnymi punktami całkowania wyznaczamy zh=obliczamy wartość funkcji w punktachxi,wartość całki w postaci przybliżonej otrzymujemy sumując pola powierzchniwszystkich prostokątów.b∫f(x)dx≅h∑fi,ai=1ngdzie(2i−1)hfi=fa+2błąd dla metody prostokątów wyraża się wzorem:R=1(b−a)⋅h⋅f'(ς),2ς∈[a,b]Przykład:Oblicz wartośćcałki∫(x2+x+1)dxmetodąprostokątów, n = 5.21f(x)=x2+x+1 ,x∈[1, 2],2−1=0.2 ,50.2⋅(2⋅1−1)2n=5Krok 1.h=Krok 3.x3=x2+h=1.5f3(x3)=x32+x3+1=4.75Krok 4.x4=x3+h=1.7x1=1+f1(x1)=x12+x1+1=3.31Krok 2.x2=x1+h=1.3f4(x4)=x4 2+x4+1=5.59Krok 5.x5=x4+h=1.9f2(x2)=x2 2+x2+1=3.99f5(x5)=x5 2+x5+1=6.51∫f(x)dx=h⋅(f1+f2+f3+f4+f5)=4.83123. Metoda trapezówMetoda prostokątów przedstawiona w rozdziale powyżej nie jest zbyt dokładna,dlategoże, pola prostokątów użytych w metodzieźle odwzorowująpole pod krzywą. Dużolepsze odwzorowanie pola pod krzywąotrzymuje sięstosując trapezy. Przedział całkowania[a,b]dzielimy nan+1równo odległych punktów x,x1,...,xn. Punkty te wyznaczamy w prostysposób wg wzoru:Rysunek 2. Złożona metoda trapezów.Algorytm:b−a,nwartość funkcji obliczana jest wn+1węzłach powstałych po podzieleniu przedziałucałkowania,wartość całki w postaci przybliżonej otrzymujemy sumując pola powierzchniwszystkich powstałych trapezów.dzielimy przedział całkowania [a,b]nanrównych odcinkówh=b∫anfff(x)dx≅ha+∑fi+b,22i=2gdziefa=f1,fb=fn+1błąd dla metody trapezów wyraża się wzorem:R=1(b−a)⋅h2⋅f' '(ς),12ς∈[a,b]Przykład:Oblicz wartośćcałki∫(x2+x+1)dxmetodątrapezów, n = 5.21f(x)=x2+x+1 ,x∈[1, 2],n=5Krok 1.h=2−1=0.2 ,5x1=a=1f1(x1)=x12+x1+1=3Krok 2.x2=x1+h=1.2f2(x2)=x2 2+x2+1=3.64Krok 3.x3=x2+h=1.4f3(x3)=x32+x3+1=4.36Krok 4.x4=x3+h=1.6f4(x4)=x4 2+x4+1=5.16Krok 5.x5=x4+h=1.8f5(x5)=x5 2+x5+1=6.04Krok 6.x6=x5+h=b=2f6(x6)=x6 2+x6+1=7∫12f7fa n3f(x)dx=h+∑fi+b=0.2⋅+(3.64+4.36+5.16+6.04)+=4.842222i=24. Metoda parabol ‘’ Simpsona ‘’Metoda Simpsona jest jednąz dokładniejszych metod przybliżonego całkowania.W metodzie prostokątów całka oznaczona przybliżana była funkcjami stałymi – liczona byłasuma pól prostokątów. W metodzie trapezów całkęprzybliżono za pomocąfunkcji liniowych– liczona była suma pól trapezów. W metodzie Simpsona stosujemy jako przybliżenie [ Pobierz całość w formacie PDF ]