Całkowanie funkcji ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Całkowanie funkcji trygonometrycznych
(funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych)
Ð
R
(
sin
x
,
cos
x
)
dx
,
( )
R
,
- funkcja wymierna zmiennych
u , v
.
u
v
Sprowadzamy do całek z funkcji wymiernych
0. Podstawienie uniwersalne:
t
=
tg
x
,
x
Î
(
-
p;
x
=
2
arctgt
dx
=
2
dt
1
+
t
2
2
sin
x
cos
x
2
tg
2
x
2
t
sin
x
=
2
2
=
2
=
sin
2
x
+
cos
2
x
tg
2
x
+
1
1
+
t
2
2
2
2
sin
2
x
-
cos
2
x
1
-
tg
2
x
1
-
t
2
cos
x
=
2
2
=
2
=
sin
2
x
+
cos
2
x
1
+
tg
2
x
1
+
t
2
2
2
2
1.
R
(
-
u
,
v
)
=
-
R
( )
u
,
v
podstawienie
t
cos
=
x
2.
( )
R
u
,
-
v
=
-
R
( )
u
,
v
podstawienie
t
sin
=
x
3.
(
R
-
u
,
-
v
)
=
-
R
( )
u
,
v
podstawienie
t
=
tgx
dt
=
dx
cos
2
x
sin
2
x
tg
2
x
t
2
sin
2
x
=
=
=
sin
2
x
+
cos
2
x
tg
2
x
+
1
t
2
+
1
cos
2
x
1
1
cos
2
x
=
=
=
sin
2
x
+
cos
2
x
tg
2
x
+
1
t
2
+
1
sin
x
cos
x
=
sin
x
cos
x
=
tgx
=
t
sin
2
x
+
cos
2
x
tg
2
x
+
1
t
2
+
1
1
2
Przykłady
1.
( )
(
dx
R
u
,
v
=
1
t
=
cos
x
-
sin
dx
dt
dt
Ð
=
u
=
-
Ð
=
-
Ð
=
Ð
=
)
( )
sin
x
R
-
u
,
v
=
-
R
u
,
v
dt
=
-
sin
xdx
1
-
cos
2
x
1
-
t
2
t
2
-
1
Ð
Ä
1
1
Ô
t
-
1
cos
x
-
1
=
Æ
2
+
2
Ö
dt
=
1
ln
t
-
1
-
1
ln
t
+
1
=
ln
=
ln
+
C
t
-
1
t
+
1
2
2
t
+
1
cos
x
+
1
2.
R
( )
( )
u
,
v
=
u
2
v
3
t
=
sin
x
( )
(
)
Ð
sin
2
x
cos
3
xdx
=
=
Ð
t
2
1
-
t
2
dt
=
Ð
t
2
-
t
4
dt
=
( )
R
u
,
-
v
=
-
R
u
,
v
dt
=
cos
xdx
t
3
t
5
sin
3
x
sin
5
x
=
-
=
-
+
C
3
5
3
5
3.
( )
1
dt
( )
dx
R
u
,
v
=
1
t
=
tgx
1
+
t
2
1
+
t
2
5
Ð
=
u
8
v
4
=
Ð
=
Ð
dt
=
(
)
( )
sin
8
x
cos
4
x
R
-
u
,
-
v
=
-
R
u
,
v
dt
=
dx
4
2
t
8
Ä
t
2
Ô
Ä
1
Ô
cos
2
x
Å
Æ
Õ
Ö
Æ
Ö
1
+
t
4
t
2
+
1
Ã
5
Ä
5
Ô
Å
Õ
×
t
2
k
k
5
Ä
5
Ô
(
)
Æ
Ö
Ð
Ã
=
Ð
k
=
0
dt
=
Å
Õ
×
t
2
k
-
8
dt
=
Ð
t
-
8
+
5
t
-
6
+
10
t
-
4
+
10
t
-
2
+
5
+
t
2
dt
=
t
8
k
Æ
Ö
k
=
0
1
1
10
10
t
3
tg
3
x
10
10
1
1
=
-
-
-
-
+
5
t
+
==
+
5
tgx
-
-
-
-
+
C
7
t
7
t
5
3
t
3
t
3
3
tgx
3
tg
3
x
tg
5
x
7
tg
7
x
opracował Paweł Sztur
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]