całkowanie num. - metoda ...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
METODYNUMERYCZNE,wykład,prof.HenrykKudela
Całkowanienumerycznemetod¡trapezówiprostok¡tów
Teoria:
Niech
f
(
x
)b¦dziefunkcj¡rzeczywist¡zmiennejrzeczywistejokre±lon¡nasko«czonymprze-
dziale
a
¬
x
¬
b
.Poszukiwanajestwarto±¢całki:
Z
b
f
(
x
)
dx
(1)
a
Bardzocz¦stozdarzasi¦,»ecałkioznaczones¡natyleskomplikowane,»eniemo»emyznale¹¢
dokładnychichwarto±ci,np.:
Z
2
Z
e
−
x
2
dx,
cos(3cos
)
d
0
0
Je»elichcemyzatempoliczycprzybli»on¡warto±¢tejcałki,tomo»emyzast¡pi¢j¡całk¡z
innejfunkcjitakiej,»e
Z
b
Z
b
f
(
x
)
dx
g
(
x
)
dx
(2)
a
a
orazdlaktórejłatwoobliczy¢całk¦.Dobr¡funkcj¡
g
mo»eby¢zatemwielomian,który
interpolujefunkcj¦
f
wdanychw¦złach.
Metodatrapezówimetodaprostok¡tów:
Dwomanajprostszymimetodamicałkowanias¡
metodytrapezów
i
prostok¡tów
.Pierwsza
znichprzybli»aobliczan¡funkcj¦lini¡prost¡przechodz¡c¡przezpunktygraniczneprze-
działu.Druganatomiastzast¦pujefunkcj¦stał¡warto±ci¡równ¡warto±cifunkcjiw±rodku
przedziałucałkowania.Zale»no±citeprzedstawiones¡narysunkach.
Rysunek1:metodatrapezów(lewy);metodaprostok¡tów(prawy)
Przybli»onewarto±cicałekwyra»aj¡si¦wzorami:
wzórtrapezów
Z
b
f
(
x
)
dx
1
2
(
b
−
a
)[
f
(
a
)+
f
(
b
)]
(3)
a
wzórprostok¡tów
Z
b
a
+
b
2
f
(
x
)
dx
(
b
−
a
)
f
(4)
a
Metodytes¡dokładne,je»lifunkcjapodcałkowajestwielomianemstopniaconajwy»ej
pierwszego.Winnychprzypadkachbł¡dwynosi:
Przygotował:AndrzejKosior
 METODYNUMERYCZNE,wykład,prof.HenrykKudela
dlametodytrapezów
−
1
12
(
b
−
a
)
3
f
00
(
)
(5)
dlametodyprostok¡tów
1
24
(
b
−
a
)
3
f
00
(
)
(6)
gdzie:
,
2
(
a,b
)
Je»eliprzedziałcałkowaniajestdu»y,tomo»emypodzieli¢gonapodprzedziałyidoka»dego
znichzastosowa¢któr¡±zwymienionychmetod,takjakjesttoprzedstawionenarysunkach.
Rysunek2:zło»onametodatrapezów(lewy);zło»onametodaprostok¡tów(prawy)
Podzielmyprzedziałcałkowania[
a,b
]napodprzedziałypunktami:
a
=
x
0
< x
1
< ... < x
n
−
1
< x
n
=
b
orazprzyjmijmyoznaczenia:
h
=
b
−
a
n
x
i
=
a
+
ih
mo»emyzatemzapisa¢:
zło»onywzórtrapezów
Z
b
n
−
X
2
h
f
(
a
)+
f
(
a
+
ih
)+
f
(
b
)
f
(
x
)
dx
1
(7)
a
i
=1
wzórprostok¡tów
Z
b
x
i
−
1
+
xi
2
n
−
X
f
(
x
)
dx
h
f
(8)
a
i
=1
Bł¦dytychmetodwyra»aj¡si¦wzorami:
dlametodytrapezów
−
1
12
n
2
(
b
−
a
)
3
f
00
(
)
(9)
dlametodyprostok¡tów
1
24
n
2
(
b
−
a
)
3
f
00
(
)
(10)
Przygotował:AndrzejKosior
 METODYNUMERYCZNE,wykład,prof.HenrykKudela
gdzie:
,
2
(
a,b
)
Skrypt1:
functiony=funcal(x)
y=exp(x^2);
Skrypt2:
functiony=midpoint(a,b,n,f)
%Wywolywanie:
% y=midpoint(a,b,n,f);
%
%Danewejsciowe:
% a=dolnagranicacalkowania
% b=gornagranicacalkowania
% n=liczbapodprzedzialow(n>=1)
% f=(string)nazwaplikum-filedefiniujacego
% funkcjepodcalkowa
%
%Danewyjsciowe:
% y=przyblizonawartosccalki
h=(b-a)/n;
y=0;
fori=1:n
y=y+feval(f,a+(2*i-1)*h/2);
end
y=h*y;
Skrypt2:
functiony=trapint(a,b,n,f)
%Wywolywanie:
% y=midpoint(a,b,n,f);
%
%Danewejsciowe:
% a=dolnagranicacalkowania
% b=gornagranicacalkowania
% n=liczbapodprzedzialow(n>=1)
% f=(string)nazwaplikum-filedefiniujacego
% funkcjepodcalkowa
%
%Danewyjsciowe:
% y=przyblizonawartosccalki
h=(b-a)/n;
y=(feval(f,a)+feval(f,b))/2;
fori=1:n-1
Przygotował:AndrzejKosior
 METODYNUMERYCZNE,wykład,prof.HenrykKudela
y=y+feval(f,a+i*h);
end
y=h*y;
Zadanie:
Wyznaczzbie»no±¢obuprzedstawionychmetodprzyobliczaniucałki:
Z
1
e
x
2
dx
0
RozwizaniewprogramieMATLAB:
clc
n=50;
fori=1:n
xm(i)=i;
ym(i)=midpoint(0,1,i,’funcal’);
end;
fori=1:n
xt(i)=i;
yt(i)=trapint(0,1,i,’funcal’);
end;
plot(xm,ym,’b*’,xt,yt,’ro’)
Przygotował:AndrzejKosior
[ Pobierz całość w formacie PDF ]