CalkiPowierz

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
CAŸKI
POWIERZCHNIOWE
C
AŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA
Definicja 1
Gładkim płatem powierzchniowym
S
(wzgl. płaszczyzny
xOy
)
nazywamy wykres funkcji
)
g
(
y
,
x
,
y
)
Î
D
Analogicznie określamy gładki płat regularny względem płaszczyzn
xOz
i
yOz
.
Definicja 2
Powierzchnię stanowiącą zbiór spójny punktów, którą moŜna
podzielić na skończoną liczbę gładkich płatów powierzchniowych,
nazywamy powierzchnią regularną.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 2 / 25
(
róŜniczkowalnej na obszarze regularnym
D
.
z
=
x
RozwaŜmy powierzchnię dwustronną regularną
S
o równaniu
)
g
(
y
,
, gdzie
(
x
,
y
)
Î
D
, oraz funkcję
f
(
x
,
y
,
z
)
określoną
i ograniczoną na tej powierzchni.
Powierzchnię
S
dzielimy na
n
dowolnych części
S
1
2
,
S
2
,
,
S
n
o polach
S
1
2
,
S
2
,
,
S
n
i z kaŜdej z tych części wybieramy po jednym
dowolnym punkcie
M
i
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
.
Wtedy istnieje granica sum
∑
=
n
f
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
S
i
, gdy średnice
¶
i
i
1
wszystkich części
S
dąŜą do zera, niezaleŜna od sposobu podziału
i
powierzchni
S
na części i od wyboru punktów
M
i
(
x
i
,
y
i
,
z
i
)
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 3 / 25
z
=
x
Definicja 3
(
całki powierzchniowej niezorientowanej
)
Całką powierzchniową niezorientowaną nazywamy
∑
=
n
lim
f
(
x
,
y
,
z
)
S
¶
®
0
i
i
i
i
n
i
1
i oznaczamy
∫
S
f
(
x
,
y
,
z
)
dS
.
Czyli
∫∫
∑
n
f
(
x
,
y
,
z
)
dS
=
lim
f
(
x
,
y
,
z
)
S
¶
®
0
i
i
i
i
n
i
=
1
S
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 4 / 25
Twierdzenie 1
(
o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej
na całkĘ podwójnĄ
)
JeŜeli funkcja
f
(
x
,
y
,
z
)
jest ciągła na płacie powierzchniowym
regularnym
S
o równaniu
z
=
g
(
y
x
,
)
, gdzie
(
x
,
y
)
Î
D
, to całka
powierzchniowa niezorientowana istnieje i wyraŜa się wzorem
∫∫
f
(
x
,
y
,
z
)
dS
=
∫∫
f
(
x
,
y
,
g
(
x
,
y
))
1
+
g
'
(
x
,
y
)
] [
2
+
g
'
(
x
,
y
)
]
dxdy
x
y
S
D
gdzie
D
jest obszarem płaskim regularnym będącym rzutem płata
S
na płaszczyznę
xOy
.
CAŁKI POWIERZCHNIOWE 5 / 25
[
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]