CalkiKrzyw

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
CAŸKI
KRZYWOLINIOWE
C
AŁKA KRZYWOLINIOWA NIESKIEROWANA
Niech
L
Ì
R
2
będzie łukiem gładkim o równaniach parametrycznych
)
x
=
x
(
t
,
y
=
y
(
t
)
gdzie
t
Î
a
,
b
.
Łukowi
L
nie nadajemy Ŝadnego kierunku: jest to łuk nieskierowany.
Przypuśćmy, Ŝe w kaŜdym punkcie łuku
L
określona jest pewna
funkcja dwóch zmiennych
f
(
y
x
,
)
.
Wtedy
·
łuk
L
dzielimy na
n
części o długościach
l
i
, i
=
1
,
2
,...,n
·
na kaŜdym łuku cząstkowym wybieramy punkt
M
i
(
x
i
,
y
i
)
n
∑
=
·
tworzymy sumę
s
n
=
f
(
x
i
,
y
i
)
×
D
l
i
i
1
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 2 / 23
Definicja 1
(
całki krzywoliniowej nieskierowanej
)
Jeśli przy
n
®
¥
i
max
,...,
D
l
i
¾
¾ ®
®
¥
0
istnieje granica
lim
s
n
i
=
n
n
®
¥
niezaleŜna od sposobu podziału łuku i od wyboru punktu
M
,
i
to granicę tę nazywamy
całkĄ krzywoliniowĄ nieskierowanĄ
i oznaczamy
∫
L
fdl
.
Analogicznie definiujemy całkę krzywoliniową nieskierowaną
w przestrzeni
R
.
3
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 3 / 23
n
1
Uwaga 1
Gdy zmienimy zwrot krzywej na przeciwny przy tym samym
podziale krzywej i tych samych wybranych punktach, to nie
zmienią się sumy
s
n
, a zatem nie zmieni się całka krzywoliniowa
nieskierowana
∫
fdl
=
∫
fdl
.
-
L
L
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 4 / 23
Fakt 1
(
zastosowanie geometryczne całek krzywoliniowych nieskier
.)
1.
Długość łuku
L
=
L
dl
f
na łuku
L
, to
pole
S
części powierzchni walcowej równoległej do osi
Oz
i ograniczonej z góry przez łuk
L
, a z dołu przez płaszczyznę
xOy
wyraŜa się wzorem:
f
(
y
)
jest funkcją ciągłą i
(
x
,
y
)
>
0
S
=
L
f
(
x
,
y
)
dl
.
CAŁKI KRZYWOLINIOWE 5 / 23
2.
JeŜeli
x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]