Całki nieoznaczone

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Całkinieoznaczone
Definicja1.Funkcj¡pierwotn¡
funkcjif
:[
a,b
]
!
R
wprzedzialea<x<bnazywamy
ka»d¡funkcj¦F
:[
a,b
]
!
R
tak¡,»eF
0
(
x
)=
f
(
x
)
dlaka»degoxzprzedziałua<x<b.
Dwiefunkcjemaj¡cewdanymprzedzialesko«czon¡pochodn¡mog¡ró»ni¢si¦ostał¡.Dlate-
gote»ka»dejfunkcji
f
okre±lonejpowy»ejmo»naprzyporz¡dkowa¢niesko«czeniewieleró»nych
funkcjipierwotnychró»ni¡cychsi¦odsiebieostał¡.
Definicja2.Całk¡nieoznaczon¡
funkcjif,oznaczan¡symbolem
Z
f
(
x
)
dx,
nazywamywyra»enieF
(
x
)+
C,gdzieFjestfunkcj¡pierwotn¡funkcjif,aCoznaczadowoln¡
stał¡.Mamywi¦c
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)+
C
()
F
0
(
x
)=
f
(
x
)
.
Podstawowewzoryrachunkucałkowego:
+1
+
C
,
6
=
−
1,kilkaszczególnychprzypadkówtegowzoru,to:
•
dla
=0:
R
dx
=
x
+
C
;
•
dla
=
−
1
2
:
R
dx
p
x
=2
p
x
+
C
,
x>
0;
•
dla
=
−
2:
R
dx
x
2
=
−
1
x
+
C
,
x
6
=0;
(2)
R
dx
x
=ln
|
x
|
+
C
,
x
6
=0;
(3)
R
e
x
dx
=
e
x
+
C
;
ln
a
+
C
,
a>
0
,a
6
=1;
(5)
R
cos
xdx
=sin
x
+
C
;
(6)
R
sin
xdx
=
−
cos
x
+
C
;
cos
2
x
=tg
x
+
C
,cos
x
6
=0;
(8)
R
dx
sin
2
x
=
−
ctg
x
+
C
,sin
x
6
=0;
(9)
R
dx
p
1
−
x
2
=arcsin
x
+
C
=
−
arccos
x
+
C
1
,
−
1
<x<
1;
(10)
R
dx
1+
x
2
=arctg
x
+
C
=
−
arcctg
x
+
C
1
.
1
(1)
R
x
dx
=
x
+1
(4)
R
a
x
dx
=
a
x
(7)
R
dx
Własno±cicałeknieoznaczonych:
(1)Całkasumyrównasi¦sumiecałek(addytywno±¢całkiwzgl¦demsumypodcałkowej)tzn.
Z
Z
Z
(
f
(
x
)+
g
(
x
))
dx
=
f
(
x
)
dx
+
g
(
x
)
dx.
(2)Stałyczynnikmo»nawynie±¢przedznakcałki,tzn.
Z
Z
kf
(
x
)
dx
=
k
·
f
(
x
)
dx,k
2
R
,k
6
=0
.
(3)
Całkowanieprzezcz¦±ci:
Je»eli
u,v
s¡funkcjamizmiennej
x
maj¡cymici¡gł¡pochodn¡,
to
Z
Z
u
(
x
)
v
0
(
x
)
dx
=
u
(
x
)
v
(
x
)
−
u
0
(
x
)
v
(
x
)
dx.
(4)
Całkowanieprzezpodstawienie:
Je»elidla
a
¬
x
¬
b
,
g
(
x
)=
u
jestfunkcj¡maj¡c¡
ci¡gł¡pochodn¡oraz
A
¬
g
(
x
)
¬
B
,afunkcja
f
=
f
(
u
)jestci¡głanaprzedziale[
A,B
],
to
Z
Z
f
(
g
(
x
))
g
0
(
x
)
dx
=
f
(
u
)
du,
przyczymposcałkowaniuprawejstronynale»ywotrzymanymwynikupodstawi¢:
u
=
g
(
x
).
Przykład1.
Korzystaj¡czwł.1-2ipowy»ejwprowadzonychwzorówmamy:
R
dx
=5
R
x
2
dx
−
6
R
xdx
+3
R
dx
−
2
R
dx
x
+5
R
dx
x
2
=
5
3
x
3
−
3
x
2
+3
x
−
2ln
|
x
|−
5
x
+
C
Przykład2.
Korzystaj¡czewzorunacałkowanieprzezcz¦±ciobliczamy:
R
xe
x
dx
=
=
xe
x
−
R
1
·
e
x
dx
=
xe
x
−
e
x
+
C.
Przykład3.
Korzystaj¡czewzorunacałkowanieprzezpodstawienieobliczamy:
R
sin
5
x
cos
xdx
=
sin
x
=
t
cos
xdx
=
dt
=
R
t
5
dt
=
t
6
6
+
C
=
t
=sin
x
=
1
6
sin
6
x
+
C.
Wi¦cejprzykładówzrozwi¡zaniamiw:
W.Krysicki,L.Włodarski:„AnalizaMatematycznawZadaniach.Cz¦±¢I”.
2
5
x
2
−
6
x
+3
−
2
x
+
5
x
2
u
=
x v
0
=
e
x
u
0
=1
v
=
e
x
[ Pobierz całość w formacie PDF ]