całki i powierzchnie

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Analiza matematyczna 2 – całki podwójne
23.05.2007 r.
Mateusz Jędrzejewski
zad. 1.
Obliczyć objętość bryły zawartej między powierzchniami:
z
=
1
x
-
2
,
z
=
1
y
-
2
,
z
=
0
.
Bryła jest ograniczona z dołu przez
z
=
0
.
Bryła jest ograniczona z góry przez
z
, bo:
=
1
"
x
ÃŽ
Â
1
-
x
2
£
1
"
y
ÃŽ
Â
1
-
y
2
£
1
Szukana bryła to:
{
=
(
x
,
y
,
z
)
:
Â
3
:
0
£
z
£
f
(
x
,
y
)
}
gdzie:
f
(
x
,
y
)
=
min(
1
-
x
2
,
1
-
y
2
)
min(
a
,
b
)
=
a
dla
a
£
b
b
dla
a
>
b
Szukam obszaru całkowania
D
:
z
=
1
-
x
2
:
z
=
0
⇒
x
2
=
1
⇒
x
=
1
Ú
x
=
-
1
z
=
1
-
y
2
:
z
=
0
⇒
y
2
=
1
⇒
y
=
1
Ú
y
=
-
1
Obszar
D
jest kwadratem:
D
=
[
-
1
,
1
] [
´
-
1
,
1
]
Szukam części wspólnej powierzchni:
z
=
1
x
-
2
,
z
=
1
y
-
2
.
z
=
1
-
x
2
⇒
1
-
x
2
=
1
-
y
2
⇒
x
=
y
⇒
y
=
x
Ú
y
=
-
x
z
=
1
-
y
2
RozwiÄ…zanie przedstawia wykres 1.
wykres 1.
y
y = x
y = -x
obszar D
x
Rozpatruję 4 kawałki obszaru
D
:
1.
dla obszaru
D
takiego, Åœe
y
>
x
to powierzchnia ponad jest zadana wzorem
z
=
1
y
-
2
,
2.
dla obszaru
D
takiego, Åœe
y
<
-
x
to powierzchnia ponad jest zadana wzorem
z
=
1
y
-
2
,
3.
dla obszaru
D
takiego, Åœe
x
>
y
to powierzchnia ponad jest zadana wzorem
z
=
1
x
-
2
,
4.
dla obszaru
D
takiego, Åœe
x
<
-
y
to powierzchnia ponad jest zadana wzorem
z
=
1
x
-
2
.
Szukaną objętość moŜna wyrazić jako:
V
=
∫∫
f
(
x
,
y
)
dxdy
=
∫∫
f
(
x
,
y
)
dxdy
+
∫∫
f
(
x
,
y
)
dxdy
+
∫∫
f
(
x
,
y
)
dxdy
+
∫∫
f
(
x
,
y
)
dxdy
D
D
D
D
D
1
2
3
4
MoŜna zauwaŜy, Ŝe te całki są sobie równe, więc:
∫∫
=
1
4
f
(
x
,
y
)
dxdy
D
Strona 1 z 3
V
V
Mateusz Jędrzejewski Analiza matematyczna 2 – całki podwójne
23.05.2007 r.
Niech:
D
1
=
D
1
'
È
D
2
'
'
Ù
D
1
Ç
D
2
'
'
=
Æ
{
}
D
'
=
(
x
,
y
)
ÃŽ
Â
2
:
0
<
x
£
1
,
x
£
y
£
1
1
{
}
D
'
'
=
(
x
,
y
)
ÃŽ
Â
2
:
-
1
£
x
£
0
,
-
x
£
y
£
1
1
zachodzi wtedy równość:
∫∫
f
(
x
,
y
)
dxdy
=
'
∫∫
f
(
x
,
y
)
dxdy
D
'
D
'
1
1
więc:
V
=
'
8
∫∫
f
(
x
,
y
)
dxdy
D
1
Obszar '
D
jest normalny względem osi
Ox
oraz funkcja
f
(
y
x
,
)
jest ciągła na '
D
więc:
1
1
1
1
1
[
]
V
=
8
∫∫
f
(
x
,
y
)
dxdy
=
8
∫
dx
∫
f
(
x
,
y
)
dy
=
8
∫
dx
∫
(
1
-
y
2
)
dy
=
8
∫
y
-
1
y
3
y
=
=
1
dx
=
3
y
x
D
'
0
x
0
x
0
1
1
(
)
[
]
=
8
∫
1
-
1
-
x
+
1
x
3
dx
=
8
2
x
-
1
x
2
+
1
x
4
x
x
=
=
1
0
=
8
(
2
-
1
+
1
)
=
8
×
1
=
2
3
3
3
2
12
3
2
12
4
0
Graficzna ilustracja powierzchni znajduje się w załączniku.
zad. 2.
Obliczyć pole powierzchni płata oraz objętość bryły zadaje funkcją
z
=
4
-
x
2
-
y
2
na obszarze
x
2
+
y
2
£
2
x
.
Ogólnie niech półsfera będzie zadana równaniem:
z
=
R
2
-
x
2
-
y
2
oraz niech rura
(nieskończonej wysokości walec) będzie zadany równaniem
x
2
+
y
2
£
R
×
x
.
Z części wspólnej powstaje bryła zwana bryłą Vivianiego.
2
f
(
x
,
y
)
=
R
2
-
x
2
-
y
D
=
{
(
x
,
y
)
ÃŽ
Â
2
:
x
2
+
y
2
£
R
×
x
}
x
2
+
y
2
£
R
×
x
Û
(
x
-
1
R
)
2
+
y
2
£
wykres 2.
(
1
R
)
2
2
2
y
obszar D
x
Powierzchnia płata wyraŜa się wzorem:
¶
f
2
¶
f
2
S
D
=
∫∫
1
+
(
x
,
y
)
+
(
x
,
y
)
dxdy
¶
x
¶
y
¶
f
(
x
,
y
)
=
¶
(
R
2
-
x
2
-
y
2
)
=
-
2
x
=
-
x
¶
x
¶
x
2
2
2
2
2
2
2
R
-
x
-
y
R
-
x
-
y
¶
f
(
x
,
y
)
=
¶
(
R
2
-
x
2
-
y
2
)
=
-
2
y
=
-
y
¶
y
¶
y
2
R
2
-
x
2
-
y
2
R
2
-
x
2
-
y
2
Strona 2 z 3
'
 Mateusz Jędrzejewski Analiza matematyczna 2 – całki podwójne
23.05.2007 r.
moŜna więc obliczyć całkę stosując przekształcenie biegunowe:
x
2
y
2
R
2
-
x
2
-
y
2
+
x
2
+
y
2
S
=
∫∫
1
+
-
+
-
dxdy
=
∫∫
dxdy
=
R
2
-
x
2
-
y
2
R
2
-
x
2
-
y
2
R
2
-
x
2
-
y
2
D
D
p
R
cos
j
p
[
]
R
dxdy
R
r
d
j
dr
2
r
dr
2
r
r
=
=
R
cos
j
∫∫
∫∫
∫ ∫
∫
2
2
=
=
=
R
d
j
=
-
R
R
-
r
d
j
=
0
R
2
-
x
2
-
y
2
R
2
-
r
2
R
2
-
r
2
D
D
-
p
0
-
p
2
2
p
(
)
p
p
p
2
2
2
2
=
-
R
∫
R
2
-
R
2
cos
2
j
-
R
2
d
j
=
-
R
2
∫
1
-
cos
2
j
d
j
+
R
2
∫
d
j
=
-
R
2
∫
sin
j
d
j
+
p
p
p
p
-
-
-
-
2
2
2
2
p
2
+
R
2
(
p
+
p
)
=
-
2
R
2
∫
sin
j
d
j
+
p
R
2
=
-
2
R
2
[
-
cos
j
]
p
2
+
p
R
2
=
2
R
2
+
p
R
2
=
R
2
(
p
+
2
)
2
2
0
0
gdzie:
D
=
{
(
j
,
r
)
ÃŽ
Â
2
:
-
p
£
j
£
p
,
0
£
r
£
R
cos
j
}
2
2
Dla
R
=
2
:
S
=
R
2
(
p
+
2
)
=
2
2
(
p
+
2
)
=
4
p
+
8
»
20
,
566
Objętość bryły wyraŜa się wzorem:
p
R
cos
j
V
=
∫∫
R
2
-
x
2
-
y
2
dxdy
=
∫∫
R
2
-
r
2
r
d
j
dr
=
∫ ∫
d
j
R
2
-
r
2
r
dr
=
D
D
-
p
0
p
[
]
R
cos
j
p
[
]
∫
2
2
3
∫
2
2
2
3
2
3
=
-
1
×
2
(
R
-
r
)
d
j
=
-
1
(
R
-
R
cos
j
)
-
(
R
)
d
j
=
2
2
2
2
3
0
3
-
p
-
p
p
(
)
3
p
p
=
-
1
R
3
∫
1
-
cos
2
j
-
1
d
j
=
-
1
R
3
∫
sin
j
3
d
j
+
1
R
3
∫
d
j
=
-
p
-
p
-
p
p
[
]
=
-
2
R
3
∫
sin
3
j
d
j
+
1
R
3
(
p
+
p
)
=
-
2
R
3
-
cos
j
+
1
cos
3
j
p
+
2
p
R
3
=
3
3
3
3
0
3
0
=
-
2
R
3
[
1
-
1
+
1
-
1
]
p
+
2
p
R
3
=
-
8
R
3
+
6
p
R
3
=
2
R
3
(
3
p
-
4
)
3
3
3
0
3
9
9
9
Dla
R
=
2
:
V
=
2
R
3
(
3
p
-
4
)
=
2
2
3
(
3
p
-
4
)
=
16
p
-
64
»
9
,
644
9
9
3
9
Graficzna ilustracja powierzchni znajduje się w załączniku.
Obliczenia pomocnicze:
∫
sin
3
j
d
j
=
∫
sin
2
j
×
sin
j
d
j
=
∫
(
1
-
cos
2
j
)
×
sin
j
d
j
cos
j
=
t
=
-
sin
j
d
j
=
dt
=
-
∫
( )
1
-
t
2
dt
=
-
t
+
1
t
3
+
C
=
-
cos
j
+
1
cos
3
j
+
C
3
3
Na kolejnych stronach znajdują się dwa załączniki.
Strona 3 z 3
  [ Pobierz całość w formacie PDF ]