Calka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Całka Riemanna
f ab
→
Definicja.
Podziałem przedziału
[
nazywamy ciąg punktów
:,
[ ]
.
]
a
,
b
a
=
…
x
0
<
x
1
<
<
x
n
=
b
, i-tym
[
]
przedziałem podziału nazywamy przedział
P
s
i
=
x
i
−
,
x
i
. Długość przedziału oznaczamy
s
i
()
(
b
]
)
∆
s
i
=
x
i
−
x
i
−
, a średnicą podziału
∆
P
=
1
max
∆
s
i
.
Ρ
a
,
jest rodziną wszystkich podziałów
i
≤
n
przedziału
[ ]
a
, .
b
Definicja.
Dla funkcji
f ab
→
()
:,
[ ]
i dla podziału
P
:
a
=
…
x
0
<
x
1
<
<
x
n
=
b
definiujemy
()
∀
n
M
i
= sup
f
x
i
m
i
= inf
x
∈
s
f
x
. Górną sumą Riemanna dla funkcji wzg. podziału nazywamy
f
P
x
∈
s
i
i
( )
=
i
∑
=
n
( )
∑
=
n
liczbÄ™
U
f
,
P
M
i
â‹…
∆
s
i
, a dolnÄ… sumÄ… Riemanna liczbÄ™
L
f
,
P
=
m
i
â‹…
∆
s
i
.
1
i
1
( )
[ ]
( ) (
P
)
Uwaga.
Dla dowolnej funkcji
f ab
→
:,
[ ]
oraz dowolnego podziału
P
,
∈
Ρ
a
b
,
L
f
, ≤
P
U
f
,
.
Definicja.
Podział
P
∗
∈
Ρ
(
b
[ ]
a
,
)
nazywamy zagęszczeniem podziału
P
,
∈
Ρ
(
b
[ ]
a
)
, gdy
P
∈
P
∗
, czyli
jeżeli
P
:
a
=
x
<
x
<
…
<
x
n
=
b
i
P
∗
:
a
=
x
′
<
x
′
<
…
<
x
n
=
b
t
o
i
∀
≤
∃
x
=
x
. Podział
0
1
0
1
i
j
≤
n
j
m
P
∈
∗
Ρ
( )
[ ]
a
,
b
nazywamy wspólnym zagęszczeniem podziałów
P
,
0
P
1
∈
Ρ
( )
[ ]
a
,
b
, gdy
P
∗
=
P
∪
P
.
(
b
[ ]
)
( )
[ ]
Uwaga.
Jeżeli
P
∗
∈
Ρ
a
,
jest zagęszczeniem podziału
P
,
∈
Ρ
a
b
,
P
:
a
=
…
1
x
<
x
<
<
x
n
=
b
i
0
P
∗
:
a
=
x
′
<
x
′
…
1
<
<
x
n
=
′
b
, to
∀
∃
s
⊃
s
=
[ ]
x
′
,
x
′
.
0
i
j
j
−
1
j
j
≤
n
i
≤
m
Twierdzenie.
Jeżeli jest zagęszczeniem przedziału , to
P
∗
P
( )
( ) ( )
( )
L
f
,
P
≤
L
f
,
P
∗
≤
U
f
,
P
∗
≤
U
f
,
P
.
( )
( ) (
)
Wniosek.
∈
[ ]
L
f
,
P
0
≤
U
f
,
P
1
.
P
,
P
a
,
b
0
1
Definicja.
Dolną całką Riemanna z funkcji na przedziale
[
nazywamy liczbÄ™
f
a
,
b
]
b
b
∫
f x dx
()
=
sup
L f P
(
,
)
, a górną całką Riemanna liczbę
()
∫
fx
dx UfP
∈Ρ
=
inf
( )
[ ]
( )
,
.
( )
[ ]
Pab
,
Pab
∈Ρ
,
a
a
b
b
Uwaga.
()
∫
fxdx
i
()
∫
fxdx
są określone dla dowolnej funkcji ograniczonej
f ab
→
:,
[ ]
,
a
a
b
b
b
b
∫ ∫
oraz
() ()
() ()
f x dx f x dx
∈
,
∫ ∫
fxdx fxdx
≤
.
a
a
a
a
Definicja.
Mówimy, że
f ab
→
:,
[ ]
jest całkowalna w sensie Riemanna (R – całkowalna), gdy
b
b
b
() ()
. Wtedy liczbÄ™
()
∫ ∫
f x dx f x dx
=
∫
fxdx
nazywamy całką (Riemanna) funkcji na przedziale
f
a
a
a
[
b
a
,
]
b
(
dx
i oznaczamy
∫
f
x
.
a
Twierdzenie.
Funkcja
f ab
→
:,
[ ]
jest R – całkowalna
⇔
∀
( )
[ ]
U
( ) ( )
ε
f
,
P
−
L
f
,
P
<
.
ε
>
0
P
∈
a
,
b
Twierdzenie Riemanna.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest ciągła. Wtedy jest R-całkowalna.
f
1
Domyślnie funkcja jest ograniczona i
i
≤
′
∃
Twierdzenie.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest monotoniczna. Wtedy jest R-całkowalna.
f
Uwaga.
Istnieją funkcje monotoniczne, które nie są ciągłe.
Definicja.
Zał, że
f ab
→
]
:,
[ ]
ograniczona,
Pa b
∈Ρ
[
( )
,
,
Pa x x x b
:
=<<<=
0
1
…
n
. FunkcjÄ™
σ
:1, ,
n
{ } [
…
→
a b
nazywamy funkcją wyboru dla przedziału , gdy
P
∀∈
σ
()
i s
i
.
in
Definicja.
Sumą Riemanna dla funkcji względem podziału i funkcji nazywamy liczbę
f
P
σ
( ) (
( )
1
∑
n
SfP f i s
,,
σ
=
σ
∆
i
.
=
( ) ( ) ( )
Uwaga.
Dla dowolnej funkcji wyboru zachodzą nierówności
σ
LfP SfP UfP
,
≤
, ,
σ
≤ ,
.
Definicja.
CiÄ…g
(
podziałów przedziału
[
nazywamy normalnym, gdy
P
n
n
ab
]
lim
→∞
∆=
()
P
n
0
.
Twierdzenie.
Zał, że jest ciągła. Wtedy dla dowolnego normalnego ciągu przedziałów
przedziału
[
oraz dla dowolnego ciÄ…gu
f ab
→
]
:,
[ ]
(
n
n
P
ab
b
(
n
n
, gdzie jest funkcją wyboru podziału ,
σ
P
lim
n
→∞
SfP
σ
( )
, ,
nn
=
∫
fxdx
( )
.
a
Twierdzenie.
Zał, że jest ograniczona. Jeżeli jest zbiorem punktów nieciągłości,
oraz istnieje skończony ciąg przedziałów otwartych i rozłącznych
(
takich, że
f ab
→
:,
[ ]
Df
()
)
∀
ab
j
,
j
ε>
0
()
(
1
⊂
∪
k
)
∑
k
(
)
(1)
Df
ab
,
i
(2)
ba
ε
−<
f
. Wtedy jest R-całkowalna.
j
j
j
j
=
i
=
1
Wniosek.
Jeżeli zbiór punktów nieciągłości jest skończony, to jest R-całkowalna.
f
Twierdzenie.
Zał, że jest R-całkowalna,
f
xab
fx mM
∀ ∈
()[ ]
,
,
gmM
→
: ,
[ ]
jest ciągła. Wtedy
∈
,
=
Wniosek.
Jeżeli
:,
[ ]
→
jest R-całkowalna.
f ab
→
:,
[ ]
jest R-całkowalna,
c
∈
, to funkcje
c
,
â‹…
f
, są R-całkowalne.
f
2
b
b
Twierdzenie.
Jeżeli
f ab
→
[ ]
jest R-całkowalna,
c
, to
∈
() ()
∫
cfxdx cfxdx
â‹…
=
∫
.
a
a
Twierdzenie.
Jeżeli
fg ab
→
,: ,
[ ]
są R-całkowalne, to
f g
+
jest R-całkowalna, i
b
b
b
( )()
() ()
∫
f g xdx
+
=
∫ ∫
f xdx gxd
+
x
.
a
a
a
Wniosek.
Jeżeli
fg ab
→
,: ,
[ ]
są R-całkowalne, to
f g
−
jest R-całkowalna, i
b
b
b
∫
( )()
f g xdx
−
=
∫
f xdx g
()
−
∫
()
xdx
.
a
a
a
b
Twierdzenie.
Jeżeli
f ab
→
[ ]
jest R-całkowalna, oraz
xab
∈
∀ ≥
()
0
,
fx
()
0
to
∫
fxdx
≥
.
a
b
b
[ ]
() ()
() ()
Wniosek.
Jeżeli
fg ab
→
,: ,
są R-całkowalne oraz
xab
∀ ≤
,
fx gx
, to
∫ ∫
f x dx g x dx
.
a
a
2
≤
i
n
σ
j
[ ]
hgfab
:,
:,
[ ]
[ ]
∈
Twierdzenie.
Jeżeli
fg ab
→
,: ,
[ ]
są R-całkowalne, to
fg
â‹…
jest R-całkowalna.
b
b
Twierdzenie.
Jeżeli
f ab
→
:,
[ ]
jest R-całkowalna, to
∫ ∫
fxdx fxdx
() ()
≤
.
a
a
b
Wniosek.
Jeżeli
xab
∈
∀
[ ]
,
fx M
()
≤ i
f ab
→
[ ]
jest R-całkowalna, to
∫
f x dx M b a
() ( )
≤ −
.
a
Twierdzenie całkowe o wartości średniej.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest ciągła. Wtedy
b
[ ]
∫
fxdx fcba
() ()( )
=
−
.
cab
a
,
Twierdzenie o podziale przedziału całkowania.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest R-całkowalna,
acb
<<
.
b
c
b
Wtedy jest R-całkowalna na przedziałach
[ ]
i
[
, oraz
] ()
f
ac cb
∫ ∫
fx
dx fxdx
=
()
+
∫
fxdx
()
.
a
a
c
Uwaga.
Z faktu, że
[ ]
fac
i
[ ]
,
fcb
są R-całkowalne wynika, że
,
f ab
→
:,
[ ]
jest R-całkowalna.
Wniosek.
Jeżeli
f ab
→
:,
[ ]
jest R-całkowalna,
[ ]
, to jest R-całkowalna na
[ ]
.
cd ab
⊂
]
[
,
f
cd
a
b
a
Definicja.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest R-całkowalna. Wtedy
∫
fxdx
=
()
0
,
∫
f x dx
() ()
=−
∫
f x dx
.
a
a
b
Twierdzenie.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest R-całkowalna. Wtedy dla dowolnych liczb
αβγ∈
,,
[ ]
ab
γ
β
γ
zachodzi
∫ ∫
fxdx fxdx
()
=
fxdx
()
+
∫
()
.
α
α
β
Twierdzenie.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest R-całkowalna,
Fab
→
:,
[ ]
jest określona wzorem
x
Fx ftdt
() ()
=
∫
. Wtedy jest ciągła.
F
a
x
Twierdzenie.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest ciągła. Wtedy
∀ =
∫
Fx ftdt
() ()
jest różniczkowalna na
xab
∈
,
a
[
ab
]
oraz
∀ =
Fx
′
() ()
fx
.
xab
,
Definicja.
Zał, że
Ff ab
→
x
,:,
[ ]
. Mówimy, że jest funkcją pierwotną dla funkcji , gdy
F
f
xab
Fx f
∀ =
′
() (
.
∈
,
Wniosek.
Jeżeli jest funkcją ciągłą, to posiada funkcję pierwotną. Funkcja pierwotna dla funkcji
f
f
x
f
jest określona wzorem
Fx ft
() ()
=
∫
dt
.
a
[ ]
Uwaga. (1)
Jeżeli jest funkcją pierwotną dla funkcji
F
f ab
→
:,
, to
c
Fc
też jest funkcją
∈
pierwotnÄ… dla .
f
3
:,
∃
∈
,
[ ]
[ ]
∈
[ ]
∀+
(2)
Jeżeli
FG
sÄ… funkcjami pierwotnymi dla
fg ab
→
,: ,
[ ]
, to
cxab
Fx Gx c
∃∀ − =
[ ]
() ()
.
∈∈
,
b
(3)
Jeżeli
f ab
→
G
:,
[ ]
jest ciągła, jest funkcją pierwotną dla , to
f
() () ()
∫
f t dt G b G a G
= − =
b
a
.
a
Twierdzenie.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest R-całkowalna, jest funkcją pierwotną dla
F
f


b

xab
Fx fx
∀ =
′
() ()

. Wtedy
∫
ft
()
dt Fb Fa
= −
() ()
.

∈
[ ]
,

a
Definicja.
Zał, że
f ab
→
:,
[ ]
jest ciągła. Całką nieoznaczoną z funkcji nazywamy rodzinę
f
wszystkich funkcji pierwotnych dla ,
f
() ()
∫
ftdt Ft cc
= + ∈
{
;
}
.
Twierdzenie o całkowaniu przez części.
Zał, że
fg ab
→
,: ,
[ ]
sÄ… klasy
C
. Wtedy
1
b
b
∫
f xgxdx fg fxgxdx
′
()()
=⋅ −
b
a
∫
()()
.
a
a
Twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.
Zał, że
ϕ →
]
:,
[ ] [
ab cd
,
taka, że
ϕ∈
→
C
1
oraz
∀ ≠
Ï•
′
()
x
0
,
Ï• =
(
ac
,
Ï• =
(
b
d
. Wtedy dla dowolnej funkcji ciągłej
f cd
[ ]
zachodzi
xab
∈
,
d
b
∫ ∫
f t dt
() (
=
f
t
ϕ′
)()
â‹…
()
t dt
.
c
a
Twierdzenie.
Zał, że
f ab
→
n
:,
[ ]
;
f ab
→
:,
[ ]
,
∀
f
n
jest R-całkowalna oraz
f f
n
→
→
. Wtedy też
f
n
∈
b
b
jest R-całkowalna oraz
∫
f x dx
=
()
l
n
m
∫
f x dx
()
.
→∞
a
a
Wniosek.
Jeżeli
∑
jest jednostajnie zbieżny na
[
oraz
∞
()
]
jest R-całkowalna na
[
, to
]
fx
n
ab
∀
f
n
ab
n
∈
n
=
1
∞
b

∞

∞
b
∑
()
∑∑
fx
jest funkcją R-całkowalną, oraz
∫

fx
()

∫
fxx
()
.
n

n

n
n
=
1
a
n
=
1
n
=
1
a
Uwaga.
Zał, że
f f
n
→
→
jest istotne.
Całki niewłaściwe.
x
Definicja.
Zał, że
f a
∞→
[
,
ba
:,
[
)
. Jeżeli
∀
fab
]
jest R-całkowalna oraz istnieje
lim
→∞
∫
ftdt
()
, to
a
mówimy, że dla istnieje całka niewłaściwa na półprostej
[
i oznaczamy jÄ…
f
a
∞
,
)
∞
()
lim
x
x
∞
∫
∫
ftdt
=
→∞
∫
ftdt
()
. Dodatkowo, jeżeli
ft
()
dt
jest skończona, to mówimy że jest R-
f
a
a
a
całkowalna na
[
. Analogicznie, jeśli
a
,
∞
)
f
−∞
:
(
]
,
b
→
.
y
Jeżeli
f
→
:
oraz
ab
,
∀<
∈
abfab
,
[
,
]
jest R-całkowalna oraz istnieje
x
→−∞
→+∞
∫
ftdt
()
, to tÄ™ granicÄ™
y
x
+∞
nazywamy całką niewłaściwą z na prostej
i oznaczamy
f
∫
ftdt
()
.
−∞
4
:,
[ ]
n
>
x
lim
 ∞
∫
x
′
()
()
Twierdzenie.
ftdt
istnieje i jest skończona
⇔∀ ∃ ∀
ε
>∈ >
0
Mx x M
x
,
′
∫
ftdt
<
ε
.
a
Uwaga. (1)
Jeżeli
f a
∞→
:,
[
)
jest ciągła i nieujemna, to istnieje
∞
∫
ftdt
()
;
a
∞
(2)
Jeżeli
f a
∞→
:,
[
)
jest ciągła, nieujemna i niemalejąca, to
∫
ftdt
()
=∞
;
a
(3)
Jeżeli
f a
∞→
:,
[
)
jest ciągła, nieujemna i nierosnąca, to
∞
∫
ftdt
()
jest skończona szereg
⇔
a
∑
∞
(
n
fa
+
jest zbieżny.
n
=
1
x
Definicja.
Zał, że
f ab
→
:,
[
)
oraz
xab
∀
[ ]
,
f
jest R-całkowalna na
[
ax
]
. Jeżeli
lim
xb
a
→
∫
ftdt
()
istnieje,
b
to oznaczamy jÄ…
∫
ftdt
()
i nazywamy całką niewłaściwą z na
[
. Analogicznie definiujemy
f
ab
)
a
całkę niewłaściwą z
f ab
→
:,
(
]
( )
. Zał, że
f ab
→
(
,
:,
,
ca
∈
)
b
oraz istnieją całki niewłaściwe
c
b
c
b
∫
ftdt
()
,
∫
ft
()
dt
. Jeżeli wykonywalne jest dodawanie
∫
ft
()
dt
+
∫
ft
()
dt
, to sumÄ™ tÄ™ nazywamy
a
c
a
c
całką niewłaściwą z na
( )
.
f
ab
Zastosowanie całek w geometrii.
I. Pole figury.
Pole figury
A
⊂
2
to funkcja
PA
→=∞
[
)
spełniająca:
= +
(2)
jeżeli zbiór jest przesunięciem zbioru , to
AAA
=∪
1
2
oraz
A
∩=∅
() () ( )
1
2
, to
PA PA PA
1
2
;
B
A
() ()
PB PA
=
.
Definicja.
Jeżeli
f ab
+
[ ]
→
jest R-całkowalna,
Ax y x aby
=
{
( )
[ ]
, ;
∈ ∧ ∈

,
,
f x
()

}
. Wtedy
możemy określić pole zbioru wzorem
A
PA
=
∫
()
b
a
ftdt
()
.
Definicja.
Obszarem normalnym wyznaczonym przez funkcje ciągłe
fg ab
→
,: ,
[ ]
≥≥
( )
( )
gf 0
nazywamy zbiór
Nfg xyx ab y fxgx
( ) ( )
[ ]
() ()
,
=
{
, ;
∈ ∧ ∈

,
,

. Pole obszaru
P
Nfg
,
obliczamy
( )
( )( )
b
ze wzoru
PN
( )
fg g f tdt
,
=−
∫
.
a
b
Wniosek.
Pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji z osiÄ…
OX
jest równe
P
f
∫
ftdt
()
.
a
II. Obliczanie objętości figur obrotowych.
Objętość figury jest funkcją analogiczną do funkcji pola.
5
∈
0,
(1)
jeżeli
:,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]